2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Orthocentre
Сообщение12.02.2008, 17:10 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
It is given an acute-angled triangle ABC (AC>BC) with orthocentre H. M is the middle point of the segment AB. A line through H, perpendicular to HM intersects AC and BC in the points E and F respectively. Prove that EH=HF.

What do you think is the source of this problem?

I think the problem may be solved by using trygonomethry. Is there some pure geometric solution?

 Профиль  
                  
 
 Re: Orthocentre
Сообщение12.02.2008, 17:22 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
ins- писал(а):
A line, perpendicular to HM intersects AC and BC in the points E and F respectively.


Что-то я не совсем понял. Вот эта прямая, перпендикулярная $HM$ --- она сама через точку $H$ проходит? Или это просто какая-то прямая, перпендикулярная прямой $HM$?

Добавлено спустя 1 минуту 27 секунд:

Пока писал вопрос, автор успел поправиться. Проходит, оказывается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 03:44 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
Do you have a proof? Or, as usual you leave others to prove your statements?

Why do you think it is so?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 10:37 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
This problem is not mine :D and is not so symetrical as usualy. Mine problems are more symmetrical as you observed :)

Solution:
Let O=circumcenter of ABC and let C1 a point on its circumcircle such that C, O and C1 are collinear. It's well know that C1, M and H are collinears too. Now, we can see C1HEA and C1HFB are cyclics, then i just need to prove C1E=C1F.
Doing an easy angles translation we can observe that. (Using that C1AHB is paralelogram)

The solution is not mine. I think it is good problem. It was the reason to share with you.

If I should solve the problem I will use trygonometry ... Sine law for the triangles: CHE, CHF, definition for sine for triangle MHD where D is the feet of the altitude through C. And maybe some other trygonometric formulaes and the reader of my solution will have a headache...

What about the source of this problem do you know it?
Is it some russian problem?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 23:29 


08/06/07
26
Это задача с Петербурских отборов - 1995. Авторское решение.
Пусть L - основание высоты, опущенной из А. Тогда AHM=90-AHE=90-LHF=LFH=BFH. Кроме того, HAM=FBH=90-C. Значит, AHM подобен BFH. Аналогично доказываем, что CHM подобен ВЕН. Значит, EH/FH=EH/BH*BH/FH=HM/CM*AM/HM=AM/CM=1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2008, 02:47 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
Thank you! I supposed so - it is russian problem (or spanish/portuguese). There is some specific "sign" in the problems from the russian competitions. I think the "autor" is the person proposed the problem. For example in Bulgarian Math Olympiad I saw - there are some problems that appears in Chinese math olympiad, UK MO, Moskow Math Olympiad, as well as problems proposed but not chosen for IMO. The situation with Canadian, UK, Indian, Polish, Iranian, Irish math olympiads is the same.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group