О биекции отрезка на квадрат

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги !

Хотел бы уточнить для себя один важный момент, связанный с хорошо известной биекцией единичного отрезка $[0, 1]$ на квадрат $[0, 1]\times [0,1].$ Напомню, что если у нас $x=0,a_1a_2a_3\ldots$ -- точка отрезка $[0, 1],$ то ей однозначно (бесконечные последовательности девяток исключаются) соответствует точка квадрата $X=(0, a_1a_3a_5\ldots; 0, a_2a_4a_6\ldots).$ Указанное соответствие, вообще говоря, не взаимно однозначно: например, точке $A=(0,x_1x_2x_3\ldots; 0,2)$ квадрата $[0,1]\times [0, 1]$ соовтествуют две точки отрезка $[0, 1]$ -- это точка $\alpha=0,x_12x_20x_3\ldots$ и точка $\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$

Будьте добры, подскажите, как исправить положение ? Хотел бы отметить, что <<плохих>> точек указанного вида в квадрате несчётно: при каждой фиксированной первой координате $a\in [0, 1]$ точки
$(a, b)\in [0,1]\times [0,1]$ имеем счётное число точек вида $(a, m/n)$ -- т.е., континуальное множество.

[Anton_Peplov]

Кривая Пеано. UPD: глупость сказал.

Evgenii2012 в сообщении #1013828 писал(а):

с хорошо известной биекцией единичного отрезка $[0, 1]$ на квадрат $[0, 1]\times [0,1].$ .... Указанное соответствие, вообще говоря, не взаимно однозначно

Вы уж определитесь, "не взаимно однозначно" или "биекция".

[Evgenii2012]

Уточняю: требуется "подправить" указанное мной отображение до взаимнооднозначного. К сожалению, пока что я не понял, как этого можно добиться.

[Evgenii2012]

Если кто-то сможет привести свой пример требуемого отображения, я также буду Вам очень благодарен. Кривая Пеано - понятно, однако, можно ли как-то проще ?

[VanD]

Evgenii2012 в сообщении #1013852 писал(а):

Кривая Пеано - понятно, однако, можно ли как-то проще ?

Кривая Пеано не биекция отрезка и квадрата. Она призвана показать совсем другую неочевидность. Вас интересует непосредственно биекция или достаточно просто обоснования её существования как таковой?

[Evgenii2012]

Большое спасибо за сообщение - интересует непосредственно биекция

[slavav]

Давайте вводить обозначения. Отрезок и квадрат обозначены. Отображение описано в терминах преобразования бесконечных строк из цифр. На самом деле отображение состоит из трёх этапов:
1. число переводим в строку,
2. строку "разрезаем пополам",
3. полученные "половинки" строки переводим в числа.
Ко всем этапам есть вопросы:
первый этап не биекция и даже не отображение (куда девается правый конец отрезка?);
на каких множествах второй этап будет биекцией?
третий этап не биекция.
Введите обозначения для образа отрезка в множестве строк. Так же надо обозначить отображения для всех трёх этапов отображения (и на каких множествах они заданы?). Затем можно будет пытаться их объединить.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за ответ - на первый взгляд выглядит довольно громоздко.

[demolishka]

По вашему соответствию между действительными числами и их десятичным представлением вы числу $0.2$ сопоставили и $0.200000...$ и $0,199999....$. Тогда как в самом начале отказались от представлений второго вида(непонятно конечно как будет представлена единица в таком случае, но вы же не уточняли соответствие - ваше дело).

[Evgenii2012]

Это как раз легко подправить - действия с конечными и счётными множествами легко подрегулировать, тут проблемы нет

[demolishka]

Каждому элементу отрезка соответствует десятичная последовательность(коли вы уж так выбрали) $\{a_k\}$. Так извольте отобразить этот элемент отрезка в точку квадрата $(x,y)$, где $x$ соответствует последовательность $\{a_{2k}\}$, а $y$ соответствует последовательность $\{a_{2k+1}\}$. Вы же отображаете эту точку непонятно куда.

[Evgenii2012]

Именно так я и отображаю - в чём проблема ?

[demolishka]

Ну раз не умеете читать. Тогда по пунктам расписывайте. Для начала напишите биекцию между $[0;1]$ и десятичными последовательностями.

[Evgenii2012]

$x\in [0,1]$ отвечает $x=0,x_1x_2\ldots,$ что дальше ?

[demolishka]

Что такое $x_1$, $x_2$ и так далее?