2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 12:45 


09/11/12
233
Донецк
Уважаемые коллеги !

Хотел бы уточнить для себя один важный момент, связанный с хорошо известной биекцией единичного отрезка $[0, 1]$ на квадрат $[0, 1]\times [0,1].$ Напомню, что если у нас $x=0,a_1a_2a_3\ldots$ -- точка отрезка $[0, 1],$ то ей однозначно (бесконечные последовательности девяток исключаются) соответствует точка квадрата $X=(0, a_1a_3a_5\ldots; 0, a_2a_4a_6\ldots).$ Указанное соответствие, вообще говоря, не взаимно однозначно: например, точке $A=(0,x_1x_2x_3\ldots; 0,2)$ квадрата $[0,1]\times [0, 1]$ соовтествуют две точки отрезка $[0, 1]$ -- это точка $\alpha=0,x_12x_20x_3\ldots$ и точка $\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$

Будьте добры, подскажите, как исправить положение ? Хотел бы отметить, что <<плохих>> точек указанного вида в квадрате несчётно: при каждой фиксированной первой координате $a\in [0, 1]$ точки
$(a, b)\in [0,1]\times [0,1]$ имеем счётное число точек вида $(a,  m/n)$ -- т.е., континуальное множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
Кривая Пеано. UPD: глупость сказал.
Evgenii2012 в сообщении #1013828 писал(а):
с хорошо известной биекцией единичного отрезка $[0, 1]$ на квадрат $[0, 1]\times [0,1].$ .... Указанное соответствие, вообще говоря, не взаимно однозначно

Вы уж определитесь, "не взаимно однозначно" или "биекция".

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 12:52 


09/11/12
233
Донецк
Уточняю: требуется "подправить" указанное мной отображение до взаимнооднозначного. К сожалению, пока что я не понял, как этого можно добиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 14:53 


09/11/12
233
Донецк
Если кто-то сможет привести свой пример требуемого отображения, я также буду Вам очень благодарен. Кривая Пеано - понятно, однако, можно ли как-то проще ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 14:57 
Заслуженный участник


29/08/13
285
Evgenii2012 в сообщении #1013852 писал(а):
Кривая Пеано - понятно, однако, можно ли как-то проще ?

Кривая Пеано не биекция отрезка и квадрата. Она призвана показать совсем другую неочевидность. Вас интересует непосредственно биекция или достаточно просто обоснования её существования как таковой?

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 15:47 


09/11/12
233
Донецк
Большое спасибо за сообщение - интересует непосредственно биекция

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 15:50 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Давайте вводить обозначения. Отрезок и квадрат обозначены. Отображение описано в терминах преобразования бесконечных строк из цифр. На самом деле отображение состоит из трёх этапов:
1. число переводим в строку,
2. строку "разрезаем пополам",
3. полученные "половинки" строки переводим в числа.
Ко всем этапам есть вопросы:
первый этап не биекция и даже не отображение (куда девается правый конец отрезка?);
на каких множествах второй этап будет биекцией?
третий этап не биекция.
Введите обозначения для образа отрезка в множестве строк. Так же надо обозначить отображения для всех трёх этапов отображения (и на каких множествах они заданы?). Затем можно будет пытаться их объединить.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:05 


09/11/12
233
Донецк
Большое спасибо за ответ - на первый взгляд выглядит довольно громоздко.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
По вашему соответствию между действительными числами и их десятичным представлением вы числу $0.2$ сопоставили и $0.200000...$ и $0,199999....$. Тогда как в самом начале отказались от представлений второго вида(непонятно конечно как будет представлена единица в таком случае, но вы же не уточняли соответствие - ваше дело).

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:13 


09/11/12
233
Донецк
Это как раз легко подправить - действия с конечными и счётными множествами легко подрегулировать, тут проблемы нет

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Каждому элементу отрезка соответствует десятичная последовательность(коли вы уж так выбрали) $\{a_k\}$. Так извольте отобразить этот элемент отрезка в точку квадрата $(x,y)$, где $x$ соответствует последовательность $\{a_{2k}\}$, а $y$ соответствует последовательность $\{a_{2k+1}\}$. Вы же отображаете эту точку непонятно куда.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:22 


09/11/12
233
Донецк
Именно так я и отображаю - в чём проблема ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ну раз не умеете читать. Тогда по пунктам расписывайте. Для начала напишите биекцию между $[0;1]$ и десятичными последовательностями.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:29 


09/11/12
233
Донецк
$x\in [0,1]$ отвечает $x=0,x_1x_2\ldots,$ что дальше ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение12.05.2015, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Что такое $x_1$, $x_2$ и так далее?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group