Решение предела:уместность сведения к первому замечательному

[qwerlion]

Вот что получилось: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {(n*\sin (\frac{1}{n}))^{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({e^{{n^2}*\ln (\frac{{\sin \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n}}}) \to 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({e^{{n^2}*\ln 1}}) = \mathop {\lim ({e^{{n^2}*0}}}\limits_{n \to \infty } ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^0} = 1$
Вот что выдаёт Вольфрам: $\frac{1}{{\sqrt[6]{e}}}$
Где я мог ошибиться?

Умножение:\cdot, если так уж нужно.

[Ms-dos4]

А ошибка в том, что вы в выражении $\[{n^2}\ln \frac{{\sin (1/n)}}{{1/n}}\]$ имеете неопределённость $\[\infty \cdot 0\]$, и почему-то считаете, что это нуль.

[Slow]

Попробуйте с самого начала прибавить и отнять единичку.

[qwerlion]

Ms-dos4 в сообщении #1013684 писал(а):

А ошибка в том, что вы в выражении $\[{n^2}\ln \frac{{\sin (1/n)}}{{1/n}}\]$ имеете неопределённость $\[\infty \cdot 0\]$, и почему-то считаете, что это нуль.

Попробовал применить правило Лопиталя, всё равно не то:$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({e^{\frac{{\ln (\frac{{\sin \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n}}})}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}}}}) = {e^{\frac{0}{0}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(\frac{1}{{1 \leftarrow (\frac{{\sin (\frac{1}{n})}}{{\frac{1}{n}}})}}) \bullet (\frac{{\cos (\frac{1}{n}) \bullet ( - \frac{1}{{{n^2}}}) \bullet \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n} \bullet ( - \frac{1}{{{n^2}}})}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}})}}{{ - \frac{2}{{{n^3}}}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } }}\frac{{ - \frac{{\frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}}}}{{ - \frac{2}{{{n^3}}}}} = {e^{\mathop {\lim {n^2}}\limits_{n \to \infty } }} = \infty $

[Ms-dos4]

qwerlion
Один из вариантов нахождения $\[{n^2}\ln \frac{{\sin (1/n)}}{{1/n}}\]$ - разложите $\[\ln \frac{{\sin (1/n)}}{{1/n}}\]$ в ряд Тейлора до 1-го члена (проще всего разложить $\[\frac{{\sin x}}{x}\]$ до второго слагаемого, и затем воспользоваться $\[\ln (1 + \alpha ) \approx \alpha \]$, в конце подставьте $\[x = \frac{1}{n}\]$). В итоге получите искомое.

[NSKuber]

qwerlion
А в вашем предыдущем посте ошибка вот какая: вы взяли и просто выкинули $\sin(\frac{1}{n})(-\frac{1}{n^2})$, как стремящееся к нулю выражение. А на самом-то деле этого делать нельзя, поскольку вон в той дроби, где синусы да косинусы, если числитель и знаменатель домножить на $n^2$ и убрать косинус (это можно) останется $\sin(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}$, а в общем знаменателе экспоненты - $-\frac{2}{n^3}$, то есть снова неопределённость $\frac{0}{0}$.