Функциональный ряд

[Henrylee]

kerz-3-06 писал(а):

то есть мы берем x не близкое к 1?!

Как раз наоборот, близкое. Поищите как раз нужную функцию $f$. Или для начала предположите что либо о ее свойствах, чтобы выполнялась оценка снизу нужной Вам суммы.

[kerz-3-06]

подскажите, пожалуйста, эту функцию, в голову мало, что приходит..

[Brukvalub]

Так Вы попробуйте здесь ответить на мой вопрос:

Brukvalub писал(а):

Для начала, сформулируйте здесь отрицание критерия Коши для исследуемого ряда и отрицание критерия Коши для гармонического ряда.

, тогда и ясность появится.

[kerz-3-06]

отрицание критерия Коши я уже приводил:

kerz-3-06 писал(а):

мм... У нас должен быть такой $\epsilon$, для которого какая-то конечная сумма членов ряда была больше $\epsilon$ - это без обозначений, но суть, думаю, ясна.

а для гармонического ряда отрицание выглядит так:

|$S_{2n} - $S_n| > n\frac {1} {2n} = 1/2

Добавлено спустя 5 минут 47 секунд:

ну и аналогичным образом мы получаем что наша сумма для данного ряда> n$\frac {1} {\ (2n)^x+1}$

но ясность в выборе x так и не пришла

[AD]

Оценку вашу не совсем понимаю - косинус у нас ведь обычно меньше единицы ... Но так как он при больших $n$ и сравнительно маленьких $x$ оказывается больше 1/2, то порядок похожий.

Ну теперь $x>1$ надо выбирать в зависимости от $n$ таким, чтобы эта оценка была заведомо больше некоторого положительного числа, которое и планируется взять в качестве $\varepsilon$. Ну и оценка на косинус чтобы не испортилась (ведь когда $x$ не фиксирован, а зависит от $n$, то может быть плохо даже при больших $n$; скажем, брать $x=\pi n/2$ не очень хорошо).

[kerz-3-06]

наверно, мы можем взять x=1 + 1/n ?

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

отрицание критерия Коши я уже приводил:

kerz-3-06 писал(а):
мм... У нас должен быть такой $\epsilon$, для которого какая-то конечная сумма членов ряда была больше $\epsilon$ - это без обозначений, но суть, думаю, ясна.

НЕЗАЧЕТ! Формулировка неверна. А суть искомого д-ва я Вам тоже уже приводил, но из-за такой вот безалаберности эта суть остается Вами не понятой. И не будет понята, пока не появится аккуратности в рассуждениях.

[kerz-3-06]

Хм.. Отрицание критерия Коши можно в принципе сформулировать так: найдется $\epsilon$>0 такое что для любого N найдется n>N, для которого |$S_{2n} - $S_n| > $\epsilon$

Так вернО?!

Хотя это на мой взгляд то же самое, что я и написал..

[AD]

kerz-3-06 писал(а):

Так вернО?!

Brukvalub писал(а):

НЕЗАЧЕТ!

Brukvalub, ну вы прям нострадамус ...

kerz-3-06, Теперь уж точно невернО. Уж совсем невернО. Уж полное безобразие.

Задачи на равномерную сходимость и прочие задачи из этого периода изучения матана тем и славятся, что здесь приходится всё время возится с определениями предела и критериями Коши, с эпсилонами и дельтами, поэтому этими вещами нужно владеть. Овладение достигается обычно за одну как следует решенную задачу, чего вам и желаю

[kerz-3-06]

ладно, а можно тогда попрозить указать ошибку в следующем рассуждении:

Возьмем довольно большое n и попытаемся оценить снизу |$S_{2n} - $S_n|

|$S_{2n} - $S_n| > \frac {1} {2}n \frac {1} {\ (2n)^x+1}
При x=1+1/n наша сумма стремится к 1/2 => начиная с какого-то n больше 1/3 => отрицание критерия Коши. ?!

[Henrylee]

kerz-3-06 писал(а):

Возьмем довольно большое n и попытаемся оценить снизу |$S_{2n} - $S_n|

|$S_{2n} - $S_n| > \frac {1} {2}n \frac {1} {\ (2n)^x+1}
При x=1+1/n наша сумма стремится к 1/2 => начиная с какого-то n больше 1/3 => отрицание критерия Коши. ?!

Вообще говоря, ход рассуждений верный. Только выкладки следует делать аккуратней (есть некоторые неточности). И хорошо бы начать с правильной формулировки отрицания критерия
Коши равномерной сходимости, к которой Вас призывал Brukvalub

[kerz-3-06]

Ладно тогда так:

Возьмем $\epsilon$=1/3 и оценим разность |$S_{2n} - $S_n| при x=1+1/n :

|$S_{2n} - $S_n| > \frac {1} {2}n \frac {1} {\ (2n)^(1+\frac {1} {x})+1} -> 1/2, а следовательно и больше $\epsilon$ при любом n => отрицание Критерия Коши.

Такое разсуждение верно?!

[AD]

Рассуждение - похоже. Но забывать про $x$ в формулировке критерия все-таки нехорошо.

[kerz-3-06]

ок. по критерию Коши наша сумма должна быть меньше $\epsilon$ при любом x из заданного промежутка. А мы доказали что при x близком к 1 критерий не выполняется. так терь все хорошо?!

[AD]

Хорошо-то-хорошо, но давайте лучше критерий сформулируйте еще раз и от печки.