Вопрос по композиции псевдодифференциальных операторов (ПДО)

[Rsah]

Существует теорема о композиции 2х ПДО:


Доказательство теоремы по ссылке: http://agranovich.nm.ru/lect4.pdf пункт 1.11

Задача состоит в следующем:

Пусть $C$ -- ПДО, такой что $C=BA-AB$.
Чему равен символ $c(x,\xi)$ ПДО $C$ ?

Моя не верная догадка:

$$\sum\limits_{|\alpha|<N, |\beta|<N} \sim \left( \frac{1}{\alpha!}\partial_{\xi}^{\alpha} D_{x}^{\beta} - \frac{1}{\beta!}\partial_{\xi}^{\beta} D_{x}^{\alpha} \right) a(x,\xi) b(x,\xi)$$

[Rsah]

Нашел хорошее следствие в книге Трев Ф.Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Т. 1. https://vk.com/doc57144397_271358535?ha ... e343f51afc :


Итак, пользуясь Этим следствием получаю что:

$$c(x,\xi)=\sum\limits_{j=1}^{n}\partial_{\xi_j}a(x,\xi) D_{x}^{j} b(x,\xi) - D_{x}^{j}a(x,\xi) \partial_{\xi_j} b(x,\xi),\text{ где }$$

$$\partial_{\xi_j}=\frac{\partial}{\partial x_{\xi_j}} , D_{x}^{j}=-i \frac{\partial}{\partial x^{j}} $$

[Red_Herring]

Прежде всего, формулы из "Теоремы 9" верны только для $qp$-квантования, т.е. $A = a(\overset{2}{\vphantom{D}x}, \overset{1}{D})$, а для $pq$-квантования, и симметричного (вейлевского) квантования формулы несколько отличны.

Если же говорить о $qp$-квантовании то из Теоремы 9 следует формула для полного символа коммутатора

$$ \sum_{\alpha} (-i)^{|\alpha|} \Bigl(\partial_\xi^\alpha a \cdot \partial_x^\alpha b-\partial_\xi^\alpha b \cdot \partial_x^\alpha a\Bigr) $$

и тогда если хотя бы один из символов $a$, $b$ скалярен, член с $\alpha=0$ исчезает и для главного символа коммутатора получается

$$ -i \bigl\{ a,b\bigr\}. $$

Последнее верно и $pq$-квантования, и вейлевского квантования, причем для последнего исчезает также и следующий за скобкой Пуассона член.