О множестве R. Где здесь ошибка?

[azmt]

Здравствуйте. Возьмем число $\sqrt 2$. Тогда $\sqrt 2\times\sqrt 2=2$. Из правил арифметики следует, что $2=\sqrt 2+\sqrt 2...+\sqrt 2$. Т.е. $n$ раз сложить $\sqrt 2$ с самим собой. Далее рассмотрим тогда отрезок равный $2$. Очевидно мы можем выделить на этом отрезке множество отрезков, каждый из которых равен $\sqrt 2$. Тогда мы можем занумеровать каждый такой отрезок натуральным числом от 0 до $n$, где $n=\sqrt 2$. Помогите понять где тут ошибка. Или здесь (возможно) всё верно?

[Otta]

azmt в сообщении #1013307 писал(а):

натуральным числом от 0 до $n$, где $n=\sqrt 2$.

Вы уж определитесь, или натуральным, или корень из двух.

[mihailm]

azmt, все верно, но не в нашей (устаревшей) десятичной системе счисления, а в $\sqrt{2}$-ичной. Там кстати и $\sqrt{2}$ натуральное число!

[AlexDem]

А всё потому что $2 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}}$

[Утундрий]

AlexDem в сообщении #1013315 писал(а):

$2 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}}$

Осталось прикрутить к этому какую-нибудь корническую систему счисления

[AlexDem]

Осталось до чего?
(ТС где-то в интернете увидел неверную запись верной формулы, и залочился. Далее он посчитал число слагаемых - ну раз сумма $n$ членов $\sqrt 2$ равна $2$, то $n = \sqrt 2$ - очевидно!)

[azmt]

Просто имхо подобный вопрос наверняка может возникнуть у школьника. Вот и озадачился. А что значит сложить $\sqrt2$ с самим собой $\sqrt2$ раз. Возможно этот вопрос вообще бессмысленный. А как бы вы смогли на это ответить школьнику?

[AlexDem]

azmt, Вы осознали, надеюсь, что $\sqrt 2 \approx 1,414$, и то, что Вы написали в первом сообщении по поводу $2 = \sqrt 2 + \sqrt 2 + \ldots$ и далее - это ерунда?

(За школьника судить не берусь...)

-- менее минуты назад --

(Оффтоп)

И вообще, сложите лучше $i$ раз - интересней будет. А так-то я могу $1,5$ раза наклониться, например, - раз согнуться, а на второй не разогнуться. Ну и $\sqrt 2$ раз могу, если постараться - не так низенько нужно сгибаться...

[azmt]

Конечно, осознал. Я же как бы с точки зрения школьника вопрошаю. Понятно, что $\sqrt2+\sqrt2>2$. То есть на отрезке $2$ мы можем выделить отрезок $\sqrt2$ и плюс какую-то его часть, равную $2-\sqrt2$. Таким образом, мы не можем сложить несколько чисел $\sqrt2$. А вот как быть с произведением. Что мы там считаем, ну на примере отрезков. Нельзя ведь сказать, что мол $\sqrt2$ содержится на отрезке $2$ некоторое число раз, равное$\sqrt2$.

[AlexDem]

azmt в сообщении #1013447 писал(а):

А вот как быть с произведением. Что мы там считаем, ну на примере отрезков

Да взяли и обобщили. Так же и со сложением - нельзя ведь получить нецелое число, складывая палочки (их длина нам не важна). Взяли две банки - на $2$ и на $3$ литра, стали делать варенье. И оказалось, что во вторую банку ягод и сахара нужно в $1.5$ раза больше .

[Neos]

azmt в сообщении #1013307 писал(а):

Из правил арифметики следует, что $2=\sqrt 2+\sqrt 2...+\sqrt 2$.

????

Правило $3 \cdot 2 = 3 + 3$ в данном случае не работает .

[AlexDem]

(Оффтоп)

Neos в сообщении #1013452 писал(а):

Правило $3 \cdot 2 = 3 + 3$ в данном случае не работает .

Поломалось?

[Kras]

azmt в сообщении #1013443 писал(а):

А что значит сложить $\sqrt2$ с самим собой $\sqrt2$ раз. Возможно этот вопрос вообще бессмысленный.

Мне тоже стало интересно, что значит сложить $\sqrt2$ раз. Неужели есть такое понятие?

azmt в сообщении #1013447 писал(а):

А вот как быть с произведением.

С произведением быть очень просто. Площадь квадрата равна $2$, и всё в таком духе...

[azmt]

Цитата:

Так же и со сложением - нельзя ведь получить нецелое число, складывая палочки (их длина нам не важна).

Спасибо. Я бы написал так: Нельзя сложить некоторые числа например $\sqrt3$ раза. Т.е. количество арифметических операций должно быть перечеслимо от $0$ до $n$.

[AlexDem]

azmt в сообщении #1013456 писал(а):

Т.е. количество арифметических операций должно быть перечеслимо от $0$ до $n$.

Вы здесь написали совершенно другое: арифметические операции это сложение, умножение, деление, и т.п. Их количество здесь ни при чём.
(Можно я уже пойду?...)

upd:

azmt в сообщении #1013456 писал(а):

Нельзя сложить некоторые числа например $\sqrt3$ раза.

Это если палочки, то нельзя. А ложек песку я могу насыпать сколько угодно, в том числе - и не целое количество.
(Всё, ушёл..)