Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1013274 писал(а):

Но для физики, собственно, нафиг не нужно, чтобы производные от $\Psi$ лежали в $L^2.$ Пот

для физики нужна корректность задачи, а корректностть зависит от пространства в котором задача решается

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1013228 писал(а):

Но у нас же $\Psi$ с.ф. оператора Шрёдингера.

Вот добавлю.

Мсье Red_Herring! Боюсь, здесь может иметь место misunderstanding, поскольку одни люди говорят о нестационарном уравнении Шрёдингера ($i\partial_t\Psi=-\nabla^2\Psi+U\Psi$), а другие - о стационарном ($-\nabla^2\Psi+U\Psi=E\Psi$). С физической точки зрения требования к $\Psi$ в них одни и те же.

-- 10.05.2015 20:03:34 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1013276 писал(а):

для физики нужна корректность задачи, а корректностть зависит от пространства в котором задача решается

Физики не говорят на языке "пространства, в котором задача решается". Хотя на этот язык всё можно перевести. Но тогда физики будут легко менять пространство ради конкретной задачи, а математики - зафиксируют пространство и будут морщить лоб.

Я вам это уже говорил, кстати.

[Ms-dos4]

Munin в сообщении #1013237 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #1013225 писал(а):

В случае стационарного состояния дискретного спектра $\[{\left| \Psi \right|^2} \to 0\]$ на бесконечности.

Вот, начались оговорки. И для начала, хотелось бы оговорить потенциал. Потому что слова "дискретный спектр" о нём говорят что-то, но не слишком много.

И это - не ответ на вопрос ТС. И это - погружение в тонкости, параллельные вопросу ТС.

Так я именно с этими оговорками изначально и написал. А потенциал не важен (главное, что бы был физичен). Т.е. если у вас $\[\Psi \]$ с.ф. дискретного спектра, то автоматом она убывает на бесконечности. Если $\[\Psi \]$ с.ф. непрерывного спектра, то она не лежит в $\[{L_2}\]$ (речь про стационарные состояния). Вопрос же не в том, может ли функция лежать в $\[{L_2}\]$ и не убывать на бесконечности, а в том, почему в КМ накладываются определённые требования, и я сказал, что дело не в эрмитовости. Если же мы говорит о "чисто математике", так мы можем не то, что на $\[{L_2}\]$ забить, а и разрывными $\[\Psi \]$ удовлетворяться.

[Red_Herring]

Действительно, ТС не говорил ни о каких с.ф.—это уже другие, под соусом "стационарные состояния". Ну и тогда $L^2$ ф-я не обязана ни убывать, ни быть ограниченной.

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #1013288 писал(а):

А потенциал не важен (главное, что бы был физичен).

Ну вот это "физичен" и надо долго переводить...

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1013277 писал(а):

Физики не говорят на языке "пространства, в котором задача решается". Хотя на этот язык всё можно перевести. Но тогда физики будут легко менять пространство ради конкретной задачи, а математики - зафиксируют пространство и будут морщить лоб.

Я вам это уже говорил, кстати.

а почему Вы решили что математики "фиксируют" пространство? Все в точности наоборот. Математики подбирают пространство под конкретное уравнение, придумывают новые пространства, это очень гибкая технология. Иногда подбирают несколько пространств. Например, эллиптические уравнения хорошо решаются в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера.

[Munin]

Ну хорошо, рад за них, в таком случае.

[g______d]

Munin в сообщении #1013302 писал(а):

Ну вот это "физичен" и надо долго переводить...

Обычно "физичность" означает всего лишь самосопряжённость оператора $-\Delta+V$ (если этот "+" понимать в правильном смысле). Иногда к этому добавляется требование полуограниченности оператора снизу (или, что то же самое, ограниченности его спектра снизу).

[Munin]

А при каких $V$ он самосопряжён?

[g______d]

Munin в сообщении #1013320 писал(а):

А при каких $V$ он самосопряжён?

Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон, "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", глава 1 -- это если нужен достаточно полный ответ.

Более по-простому -- $V$ вещественный, положительная часть может быть какая угодно, отрицательная должна быть не слишком отрицательной. Например, при размерности $n\ge 3$ достаточно чего-то типа $\sup\limits_{x\in \mathbb R^n} \int\limits_{|y-x|\le 1}|V_-(y)|^{d/2}\,dy\le C$.

-- Вс, 10 май 2015 12:25:13 --

Или Рид-Саймон, том 2, глава X.

-- Вс, 10 май 2015 12:33:33 --

Red_Herring в сообщении #1013296 писал(а):

Действительно, ТС не говорил ни о каких с.ф.—это уже другие, под соусом "стационарные состояния". Ну и тогда $L^2$ ф-я не обязана ни убывать, ни быть ограниченной.

Вроде речь шла о волновой функции, но я, действительно, не очень понимаю, что имеется в виду под волновой функцией. Т. е. понятно, что это решение уравнения Шрёдингера, но решением можно считать довольно разные вещи. Например, если гамильтониан самосопряжён, то $e^{iHt}$ -- унитарный оператор в $L^2$, поэтому, записав уравнение Шрёдингера в виде $\psi(t)=e^{iHt} \psi_0$, мы можем решать его с любой правой частью из $L^2$ и называть результат волновой функцией.

[Red_Herring]

То, что написал g______d это некоторые достаточные условия. Но отнюдь не необходимые. Например $V=-\alpha |x|^{-2}$ с достаточно малой $\alpha$ или $V=-|x|^{-2}(|\ln |x|+1)^{\delta}$ с $\delta>0$ будет полуограничен снизу (и существенно самосопряжен).

Существенно самосопряжен означает, что замыкание оператора—самосопряженный.

Если мы говорим о чистом (немагнитном) Шрёдингере то в силу вещественности оба индекса дефекта равны и оператор имеет самосопряженное расширение—но оно может быть и шире замыкания, т.е. первоначальный оператор не будет существенно самосопряжен.