Разложение небазисных векторов по базису

[san_raise]

Доброго времени суток!
Вопрос по линейной алгебре.
В задании требуется найти базис и размерность подпространства и все внебазисные векторы разложить по найденному базису.
В моем случае, размерность подпространства $M=<\vec{m_1},\vec{m_2},\vec{m_3}>$ равна 4.
$\vec{m_1}=(4 ;1; -3 ;5)$
$\vec{m_2}=(0; 3; 1; 2)$
$\vec{m_3}=(4; -5; -5; 1)$
Привел матрицу из этих векторов к трапециевидному виду, нашел ранг, равный 2 и определитель минора второго порядка не равен нулю, следовательно, $\vec{m_1}$ и $\vec{m_2}$ - базисные векторы. Как найти разложение $\vec{m_3}$ по базисным векторам? Проблема заключается в том, что размерность пространства равна четырем, а векторов только два. Заранее благодарен.

[mihailm]

Методом неопределенных коэффициентов.
Как в общем будет выглядеть разложение $m_3$ по базисным векторам?

[san_raise]

$\vec{m_3}=\lambda_1\vec{m_1}+\lambda_2\vec{m_2}$

[svv]

Вы записали: $\vec m_3=\lambda_1 \vec m_1+\lambda_2 \vec m_2$. Это правильно.
Дальше то же самое записывается в координатах.
А у Вас координаты векторов $\vec m_1, \vec m_2, \vec m_3$ умножаются на сами векторы, неизвестные же куда-то испарились.

[san_raise]

svv
Благодарю, сейчас исправлю.

[svv]

Неплохо было бы записать систему сразу в матричном виде.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Убирайте картинку.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[san_raise]

$4=4 \lambda_1+0\lambda_2$
$-5=\lambda_1+3\lambda_2$
$-5=-3\lambda+\lambda_2$
$1=5\lambda_1+2\lambda_2$

[provincialka]

А можно и не решать систему, а внимательнее посмотреть на то, как вы сделаи это:

san_raise в сообщении #1012830 писал(а):

Привел матрицу из этих векторов к трапециевидному виду

Запишите те действия со строками, которые вы для этого использовали!

[san_raise]

provincialka
А что потом?

[provincialka]

san_raise
Потом ответ получается! В уме.
Вы же методом Гаусса пользовались? Например, как вы "убрали" четверку в левом нижнем углу?

[mihailm]

san_raise в сообщении #1012882 писал(а):

$4=4 \lambda_1+0\lambda_2$
$-5=\lambda_1+3\lambda_2$
$-5=-3\lambda+\lambda_2$
$1=5\lambda_1+2\lambda_2$

Решите как умеете

[provincialka]

mihailm
Ну зачем же фактически по второму разу решать! Тут никакие лямбды вообще не нужны!
Раз получился ранг 2, значит, одну из строк обратили в 0. А как эта нулевая строка связана с исходными?

[san_raise]

Решил как систему. Получилось $\lambda_1=1$ $\lambda_2=-6$ , и тогда $\vec{m_3}=(4;-5;-5;1)$
$\vec{m_3}=\vec{m_1} - 2\vec{m_2}$
Как проверить правильность решения? И еще, как тут благодарить участников?