Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*

[Hasek]

Помогите, пожалуйста, разобраться, почему не существует канонического изоморфизма между векторным пространством и сопряженным к нему.

Какое есть четкое определение канонического изоморфизма/отображения, вообще каноничности чего-либо? Я так понимаю, что это что-то единственное, инвариантное и определяемое наиболее естественным образом (опять же неясно, что такое естественным образом ).

Попытка доказательства: Элементами ВП являются вектора (будем называть их так), элементами сопряженного пространства -- линейные функции. Пробуем сопоставить каждому вектору линейную функцию каким-то образом. Понятно, что линейная функция полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Но базис выбирается не единственным образом, следовательно, такой изоморфизм зависит от выбора базиса, что не канонично.

Мне кажется, это не достаточно строгое доказательство. Можно ли узнать что-то более общее и категорное?

[svv]

Я тоже несколько раз встречал утверждение, что строгое определение канонического изоморфизма возможно дать только в теории категорий, и мне очень интересно, как знающие люди, опираясь на категорные представления, покажут отсутствие оного в данном случае.

[arseniiv]

Просто мысли вслух: канонический изоморфизм — это выразимая в (одной только) теории векторных пространств (и элементов соотв. поля) функция (двуместная линейная по второму аргументу) в скаляры (под чем здесь понимается, что существует выразимый трёхместный предикат $P$ со свойством $\forall x\in V.\;\forall y\in V.\;\exists!a\in F.\;(x,y,a)\in P$ и т. д.). Вроде, описал именно его — или недолёт/перелёт?

(Категорное или другое более простое определение тоже бы посмотрел.)

[svv]

arseniiv
Изоморфизм сохраняет операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр? Тогда Ваша двуместная функция линейна и по первому аргументу. И тогда это билинейная форма.

[g______d]

На mathoverflow вроде обсуждали, и к точному определению не пришли.

Я бы предложил бы что-нибудь вроде "не использующий аксиому выбора". Хотя даже в канонических конструкциях она, возможно, где-то незаметно используется.

Еще один вариант: бывают категорные определения, содержащие свойство универсальности. Например, $U\otimes V$ -- это такое пространство с заданным билинейным отображением из $U\times V$ в $U\otimes V$, так что для любого билинейного отображения из $U\times V$ в $W$ существует единственное линейное отображение из $U\otimes V$ в $W$, такое что соответствующая диаграмма коммутативна.

Ну и в принципе многие канонические конструкции, действительно, получены из похожих определений применением свойства "существует единственное ...".

[Xaositect]

Обычно, когда говорят, что понятие канонического или "натурального" отображения формализуется в теории категорий, имеют в виду естественные преобразования между функторами.

Но если рассматривать категорию конечномерных линейных пространств, то у нас сопряжение - это не функтор, а контравариантный функтор, так что тут имеется в виду что-то другое. Можно рассмотреть групоид конечномерных линейных пространств с изоморфизмами, тогда сопряжение будет эндофунктором (каждому изоморфизму $A\colon V\to W$ соответствует изоморфизм $A^{-T}:V^*\to W^*$) и можно доказать отсутствие естественного изоморфизма $\mathrm{Id}\Rightarrow \phantom{}^*$

-- Чт май 07, 2015 00:42:54 --

g______d в сообщении #1011932 писал(а):

Я бы предложил бы что-нибудь вроде "не использующий аксиому выбора". Хотя даже в канонических конструкциях она, возможно, где-то незаметно используется.

Для того, чтобы построить изоморфизм между конечномерными пространствами $V$ и $V^*$, аксиома выбора не нужна, а в бесконечномерном случае изоморфизма нет.

-- Чт май 07, 2015 00:52:22 --

Xaositect в сообщении #1011935 писал(а):

Можно рассмотреть групоид конечномерных линейных пространств с изоморфизмами, тогда сопряжение будет эндофунктором (каждому изоморфизму $A\colon V\to W$ соответствует изоморфизм $A^{-T}:V^*\to W^*$) и можно доказать отсутствие естественного изоморфизма $\mathrm{Id}\Rightarrow \phantom{}^*$

Или, на более понятном языке, это значит отсутствие изоморфизма, инвариантного относительно группы замены базисов $GL(V)$.

[g______d]

Xaositect в сообщении #1011935 писал(а):

Для того, чтобы построить изоморфизм между конечномерными пространствами $V$ и $V^*$, аксиома выбора не нужна, а в бесконечномерном случае изоморфизма нет.

Да, пожалуй не нужна.