2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*
Сообщение06.05.2015, 18:27 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Помогите, пожалуйста, разобраться, почему не существует канонического изоморфизма между векторным пространством и сопряженным к нему.

Какое есть четкое определение канонического изоморфизма/отображения, вообще каноничности чего-либо? Я так понимаю, что это что-то единственное, инвариантное и определяемое наиболее естественным образом (опять же неясно, что такое естественным образом :-) ).

Попытка доказательства: Элементами ВП являются вектора (будем называть их так), элементами сопряженного пространства -- линейные функции. Пробуем сопоставить каждому вектору линейную функцию каким-то образом. Понятно, что линейная функция полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Но базис выбирается не единственным образом, следовательно, такой изоморфизм зависит от выбора базиса, что не канонично.

Мне кажется, это не достаточно строгое доказательство. Можно ли узнать что-то более общее и категорное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*
Сообщение06.05.2015, 20:16 
Заслуженный участник


23/07/08
9162
Харьков
Я тоже несколько раз встречал утверждение, что строгое определение канонического изоморфизма возможно дать только в теории категорий, и мне очень интересно, как знающие люди, опираясь на категорные представления, покажут отсутствие оного в данном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*
Сообщение06.05.2015, 23:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Просто мысли вслух: канонический изоморфизм — это выразимая в (одной только) теории векторных пространств (и элементов соотв. поля) функция (двуместная линейная по второму аргументу) в скаляры (под чем здесь понимается, что существует выразимый трёхместный предикат $P$ со свойством $\forall x\in V.\;\forall y\in V.\;\exists!a\in F.\;(x,y,a)\in P$ и т. д.). Вроде, описал именно его — или недолёт/перелёт?

(Категорное или другое более простое определение тоже бы посмотрел.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*
Сообщение07.05.2015, 00:20 
Заслуженный участник


23/07/08
9162
Харьков
arseniiv
Изоморфизм сохраняет операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр? Тогда Ваша двуместная функция линейна и по первому аргументу. И тогда это билинейная форма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*
Сообщение07.05.2015, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
На mathoverflow вроде обсуждали, и к точному определению не пришли.

Я бы предложил бы что-нибудь вроде "не использующий аксиому выбора". Хотя даже в канонических конструкциях она, возможно, где-то незаметно используется.

Еще один вариант: бывают категорные определения, содержащие свойство универсальности. Например, $U\otimes V$ -- это такое пространство с заданным билинейным отображением из $U\times V$ в $U\otimes V$, так что для любого билинейного отображения из $U\times V$ в $W$ существует единственное линейное отображение из $U\otimes V$ в $W$, такое что соответствующая диаграмма коммутативна.

Ну и в принципе многие канонические конструкции, действительно, получены из похожих определений применением свойства "существует единственное ...".

 Профиль  
                  
 
 Re: Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*
Сообщение07.05.2015, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Обычно, когда говорят, что понятие канонического или "натурального" отображения формализуется в теории категорий, имеют в виду естественные преобразования между функторами.

Но если рассматривать категорию конечномерных линейных пространств, то у нас сопряжение - это не функтор, а контравариантный функтор, так что тут имеется в виду что-то другое. Можно рассмотреть групоид конечномерных линейных пространств с изоморфизмами, тогда сопряжение будет эндофунктором (каждому изоморфизму $A\colon V\to W$ соответствует изоморфизм $A^{-T}:V^*\to W^*$) и можно доказать отсутствие естественного изоморфизма $\mathrm{Id}\Rightarrow \phantom{}^*$

-- Чт май 07, 2015 00:42:54 --

g______d в сообщении #1011932 писал(а):
Я бы предложил бы что-нибудь вроде "не использующий аксиому выбора". Хотя даже в канонических конструкциях она, возможно, где-то незаметно используется.
Для того, чтобы построить изоморфизм между конечномерными пространствами $V$ и $V^*$, аксиома выбора не нужна, а в бесконечномерном случае изоморфизма нет.

-- Чт май 07, 2015 00:52:22 --

Xaositect в сообщении #1011935 писал(а):
Можно рассмотреть групоид конечномерных линейных пространств с изоморфизмами, тогда сопряжение будет эндофунктором (каждому изоморфизму $A\colon V\to W$ соответствует изоморфизм $A^{-T}:V^*\to W^*$) и можно доказать отсутствие естественного изоморфизма $\mathrm{Id}\Rightarrow \phantom{}^*$
Или, на более понятном языке, это значит отсутствие изоморфизма, инвариантного относительно группы замены базисов $GL(V)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отсутствие канонического изоморфизма между V и V*
Сообщение07.05.2015, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Xaositect в сообщении #1011935 писал(а):
Для того, чтобы построить изоморфизм между конечномерными пространствами $V$ и $V^*$, аксиома выбора не нужна, а в бесконечномерном случае изоморфизма нет.


Да, пожалуй не нужна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group