вопрос по формуле с норм. упорядочиванием(скалярное поле)

[Ascold]

В лекциях по квантовой теории поля Тонга на стр. 59 есть такое:

$$<p1',p2' |: \psi^+(x1)\psi(x1)\psi^+(x2)\psi(x2): | p1,p2>=$$

$$=<p1',p2'| \psi^+(x1)\psi^+(x2) |0><0|\psi(x1)\psi(x2) | p1,p2>$$

,
где $|p1,p2>$ - нормированное двухчастичное начальное состояние, а $|p1',p2'>$ - конечное,
$\psi(x)=(1/\sqrt{2\pi)^3}\int(b(p)e^{-ipx}+c(p)^+e^{ipx})d^4p$ - заряженное скалярное поле.
Буду признателен за объяснение вышеуказанной формулы: при попытке расписать нормально упорядоченное произведение у меня не образуется оператор $|0><0|$, да и напрягает то, что его появление у автора уменьшает число слагаемых, тогда как норм. упорядочивание лишь меняет порядок записи в их множителях.

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1010820 писал(а):

Буду признателен за объяснение вышеуказанной формулы: при попытке расписать нормально упорядоченное произведение у меня не образуется оператор $|0><0|$, да и напрягает то, что его появление у автора уменьшает число слагаемых, тогда как норм. упорядочивание лишь меняет порядок записи в их множителях.

А Вы вставьте в это место единицу (от умножения на единицу ничего не поменяется) вида

$$ \sum_n |n\rangle\langle n | =1 $$

Здесь индекс $n$ это не число частиц, а просто индекс, перебирающий ВСЕ состояния. А потом задайтесь вопросом, при каких состояниях $|n\rangle$ будет получаться не нуль.

[Ascold]

я тоже об этом думал, хотя вначале отверг единичный оператор. Хотя, по-видимому, дело так обстоит: про нормальное упорядочивание если всегда помнить, то любое, кроме $|0>$, хотя бы одночастичное состояние из $\sum |n><n|=1$ будет содержать оператор рождения, который, нормально упорядочиваясь, без доп. дельта-функций от коммутаторов проедет-таки к конечному состоянию $<0|b(p1')b(p2')$ через два, один или ноль операторов уничтожения и занулит его. Но нет, $b(p1')$ и $b(p2')$ из $<0|b(p1')b(p2')$ не стоят под процедурой норм. упорядочивания, значит, добавочные дельта-функции появятся...

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1010952 писал(а):

не стоят под процедурой норм. упорядочивания, значит, добавочные дельта-функции появятся...

Не появятся. Сначала устройте нормальное упорядочивание, а уже потом вставляйте единицу. И вообще совсем не обязательно представлять $| n \rangle$ как результат действия операторов рождения на вакуум. Всего-то делов: $\psi(x_1)\psi(x_2)$ действуя на $| p_1,p_2 \rangle$ дают вакуум (с некой амплитудой) и ничего другого дать не могут.

[green5]

Цитата:

Всего-то делов: $\psi(x_1)\psi(x_2)$ действуя на $| p_1,p_2 \rangle$ дают вакуум

В $\psi(x) есть же операторы рождения.
В случае если $| p_1,p_2 \rangle$ это античастицы равенство вроде неверное.
Будут же слагаемые типа <0|c c : c c^+ c c^+: c^+ c^+ |0> и левая часть равенства не 0, правая 0

[Alex-Yu]

green5 в сообщении #1011432 писал(а):

В $\psi(x) есть же операторы рождения.

Вы правы, я погорячился (в голове был нерелятивисткий оператор).

-- Вт май 05, 2015 20:37:30 --

green5 в сообщении #1011432 писал(а):

Будут же слагаемые типа <0|c c : c c^+ c c^+: c^+ c^+ |0> и левая часть равенства не 0, правая 0

Все равно нормальное упорядочение "перегонит" все операторы рождения влево, вот и вставить в подходящее место единицу, как я писал. И посмотреть, что из этого всего получится. Здесь уже совсем навскидку не сообразить, писать нужно.

[Ascold]

ситуация проясняется, мне тут показалось, что, поскольку $|p1,p2>=b^+(p1)b^+(p2)|0>$ и не равны нулю лишь коммутаторы $[b,b^+]$ и $[c,c^+]$, то из-за норм. упорядочивания ненулевой вклад в $<p1',p2'| :\psi^+(x)\psi^+(y)\psi(x)\psi(y): |p1,p2>$ даст лишь слагаемое, содержащее $b^+(p)b^+(q)b(r)b(s)$, поскольку во всех остальных слагаемых есть или хотя бы множитель $c$ на конце, или $c+$ в начале, который "пролезет" через операторы уничтожения частиц $b$ или рождения $b^+$ к, соответственно, нулевому кет- или бра-вектору вакуума и обратит его в ноль?
тогда вроде как получается конечный результат, но без промежуточной выкладки с единицей в виде суммы операторов всех состояний.