ситуация проясняется, мне тут показалось, что, поскольку

и не равны нулю лишь коммутаторы
![$[b,b^+]$ $[b,b^+]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/e/e7eeedc158c89298628b5ad25d96e9d582.png)
и
![$[c,c^+]$ $[c,c^+]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/1/db1c663369ce1440a35e614b753e42d682.png)
, то из-за норм. упорядочивания ненулевой вклад в

даст лишь слагаемое, содержащее

, поскольку во всех остальных слагаемых есть или хотя бы множитель

на конце, или

в начале, который "пролезет" через операторы уничтожения частиц

или рождения

к, соответственно, нулевому кет- или бра-вектору вакуума и обратит его в ноль?
тогда вроде как получается конечный результат, но без промежуточной выкладки с единицей в виде суммы операторов всех состояний.