Лемма Абеля.

[kvendingoldo]

Здравствуйте! Не совсем понимаю "очевидные" преобразования из учебника. Подскажите пожалуйста, как получается то, что на второй строчке. Пробовал сам вывести, но чего-то не получилось.

$$\sum_{k=1}^n p_k \cdot q_k = \sum_{k=1}^n p_k(S_k-S_{k-1}) = \sum_{k=1}^n p_kS_k - \sum_{k=1}^n p_kS_{k-1}= $$

$$=\sum_{k=1}^n p_kS_k - \sum_{k=0}^{n-1} p_{k+1}S_{k} =\sum_{k=1}^n S_k(p_k - p_{k+1})- p_1S_0 + p_{n+1}S_n$$

[Brukvalub]

Просто во второй сумме "сдвинули на 1" индекс суммирования.

[Otta]

До $n-1$ последняя сумма. И индекс суммирования поставьте в ней же нормальный. $S_{\color{red}k}$.

[B@R5uk]

Осталось только добавить, что это "дискретный аналог" интегрирования по частям.

[kvendingoldo]

Brukvalub в сообщении #1011546 писал(а):

Просто во второй сумме "сдвинули на 1" индекс суммирования.

Это понятно, слона-то я и не заметил А как сделать последнее преобразование? Опять "сдвинуть"?

[B@R5uk]

Там ещё у "пэ" индекс "эн", а не "эн плюс один" в последнем выражении.

[Hasek]

Первое равенство на второй строчке -- сместили нумерацию на единичку вниз (теперь с нуля, а не с единицы, соответственно поменялись и индексы суммирования).
Второе равенство -- вынесли за скобку $S_k$ и просуммировали по нему в совпадающих пределах, $k=n$ и $k=0$ учли отдельно.

[kvendingoldo]

Otta в сообщении #1011547 писал(а):

До $n-1$ последняя сумма. И индекс суммирования поставьте в ней же нормальный. $S_{\color{red}k}$.

Поправил. А в последней сумме, видимо, сделали опечатку в учебнике. Спасибо!