Помогите найти ошибку в пределе (функции, без Лопиталя)

[Настена]

Преподаватель не засчитал решения пределов, сама не могу найти ошибку. Буду очень благодарна, если поможете

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1-\cos x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{4x \sin x}{x^2} = 4$$

Считала, что $1-\cos x \approx \frac {x^2} 2$ и использовала первый замечательный предел

$$\lim\limits_{x \to 0} \ (1+\sin x) ^ \frac 3 x = \lim\limits_{x \to 0} \ (1+x) ^ \frac 3 x = e ^3$$

Считала, что $\sin x\approx x$ и применяла второй замечательный предел

[Bridgeport]

Try H'Lopital

[Capella]

Имхо, по моему такии пределы лучше делать через Лопиталя.

[Настена]

Препод говорит что нужно решать без Лопиталя

[Capella]

А чем можно? Вы применили предел $\lim_{x\to0} \frac {\sin x} x = 1$ и он верен. Или это уже шаг из Вашего решения?
Посмотрите ещё такую формулу: $({\sin x})^2 + ({\cos x})^2 =1 \to ({\sin x})^2 = 1 - ({\cos x})^2$

[Brukvalub]

Первый предел решен полностью верно, второй тоже решен верно, но замена sin x на х требует обоснования.

[Capella]

Дополню ещё только один шаг с Вашего позволения: $a^2 - b^2 = (a -b) (a + b)$

[Bridgeport]

$\frac{\frac{xsinx}{(x/2)^2}}{\frac{sin^2(x/2)}{(x/2)^2}}$

[Антипка]

Чтобы решение первой задачи было "кошерным", надо синус наверху и косинус внизу выразить через синус/косинус половинного аргумента. Тогда там все сократится и предел сведется к пределу (sin t)/t

[Настена]

Спасибо большое