2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите найти ошибку в пределе (функции, без Лопиталя)
Сообщение06.02.2008, 20:50 
Преподаватель не засчитал решения пределов, сама не могу найти ошибку. Буду очень благодарна, если поможете

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1-\cos x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{4x \sin x}{x^2} = 4$$
Считала, что $1-\cos x \approx \frac {x^2} 2$ и использовала первый замечательный предел

$$\lim\limits_{x \to 0} \ (1+\sin x) ^ \frac 3 x = \lim\limits_{x \to 0} \ (1+x) ^ \frac 3 x = e ^3$$
Считала, что $\sin x\approx x$ и применяла второй замечательный предел

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 20:55 
Try H'Lopital

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 20:56 
Аватара пользователя
Имхо, по моему такии пределы лучше делать через Лопиталя.

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 21:04 
Препод говорит что нужно решать без Лопиталя :(

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 21:10 
Аватара пользователя
А чем можно? Вы применили предел $\lim_{x\to0} \frac {\sin x} x = 1$ и он верен. Или это уже шаг из Вашего решения?
Посмотрите ещё такую формулу: $({\sin x})^2 + ({\cos x})^2 =1 \to ({\sin x})^2 = 1 - ({\cos x})^2$

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 21:15 
Аватара пользователя
Первый предел решен полностью верно, второй тоже решен верно, но замена sin x на х требует обоснования.

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 21:16 
Аватара пользователя
Дополню ещё только один шаг с Вашего позволения: $a^2 - b^2 = (a -b) (a + b)$

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 21:18 
$\frac{\frac{xsinx}{(x/2)^2}}{\frac{sin^2(x/2)}{(x/2)^2}}$

 
 
 
 
Сообщение06.02.2008, 21:31 
Чтобы решение первой задачи было "кошерным", надо синус наверху и косинус внизу выразить через синус/косинус половинного аргумента. Тогда там все сократится и предел сведется к пределу (sin t)/t

 
 
 
 
Сообщение12.02.2008, 17:21 
Спасибо большое

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group