2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: элементарное тригонометрическое неравенство
Сообщение03.05.2015, 22:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sergei1961 в сообщении #1010915 писал(а):
то неравенство Иенсена для него направлено в другую сторону

Еесли это неравенство вообще верно, то оно может быть верным только за счёт выпуклости; ну так оно в правильную сторону и направлено.

Хотя, независимо от этого, доказывать его именно через выпуклость есть извращение.

 Профиль  
                  
 
 Re: элементарное тригонометрическое неравенство
Сообщение03.05.2015, 22:53 


25/08/11

1074
Про выпуклость я всё сказал, аргументов не вижу, спорить не хочу.
Руст-Ваше доказательство интересное, спасибо, хотя мне кажется усложнённым в начале. Первоначальное доказательство было у меня таким. В классических книгах Митриновича по неравенствам есть такой вариант:
$$
|\sin(\sum x_k)|\le \sum\sin(x_k), 0<x_k<\pi.
$$
Это неравенство элементарно доказывается по индукции, базу можно сделать при двух или даже для $n=1$. Непонятно только, зачем для непрерывного синуса строгие ограничения на углы, ясно, что можно заменить на нестрогие.
Тогда из неравенства между средним арифметическим и средним квадратическим получаем нужное неравенство при ограничениях на углы, как у Митриновича пока. Но их можно снять, вернув произвольные углы в 1-2 четверти по формулам $x_k=y_k+\pi n(k)$, неравенство при этом не изменится, вот и всё.

В результате обсуждения здесь стало ясно, что проще начать с неравенства
$$
|\sin(\sum x_k)|\le \sum|\sin(x_k)|,
$$
которое уже верно всегда и тоже сразу доказывается индукцией, а далее применить неравенство Коши-Буняковского. Более простое доказательство пока не получается, как мне кажется. Возможно, оно будет ещё предложено. И остаётся вопрос о ссылке на известную публикацию. Претензий что это что-то новое конечно никаких нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: элементарное тригонометрическое неравенство
Сообщение03.05.2015, 23:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Если все $x_i\ge 0$, то из убывания $g(x)$ неравенство сразу следует. Мне потребовалось приводит только для учета того, что $x_i$ могут иметь разные знаки.

 Профиль  
                  
 
 Re: элементарное тригонометрическое неравенство
Сообщение04.05.2015, 00:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sergei1961 в сообщении #1010955 писал(а):
$$
|\sin(\sum x_k)|\le \sum\sin(x_k), 0<x_k<\pi.
$$
Это неравенство элементарно доказывается по индукции

Ещё тривиальнее по индукции доказывается, что
$$|\sin(\sum x_k)|\leqslant\sum|\sin(x_k)|$$
, притом безо всяких ограничений на углы. Просто так, тупо, в лоб -- и автоматически доказывается.

-- Пн май 04, 2015 02:19:22 --

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1010955 писал(а):
Более простое доказательство пока не получается, как мне кажется

Более простое -- невозможно; куды уж проще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group