элементарное тригонометрическое неравенство

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1010915 писал(а):

то неравенство Иенсена для него направлено в другую сторону

Еесли это неравенство вообще верно, то оно может быть верным только за счёт выпуклости; ну так оно в правильную сторону и направлено.

Хотя, независимо от этого, доказывать его именно через выпуклость есть извращение.

[sergei1961]

Про выпуклость я всё сказал, аргументов не вижу, спорить не хочу.
Руст-Ваше доказательство интересное, спасибо, хотя мне кажется усложнённым в начале. Первоначальное доказательство было у меня таким. В классических книгах Митриновича по неравенствам есть такой вариант:

$$ |\sin(\sum x_k)|\le \sum\sin(x_k), 0<x_k<\pi. $$

Это неравенство элементарно доказывается по индукции, базу можно сделать при двух или даже для $n=1$. Непонятно только, зачем для непрерывного синуса строгие ограничения на углы, ясно, что можно заменить на нестрогие.
Тогда из неравенства между средним арифметическим и средним квадратическим получаем нужное неравенство при ограничениях на углы, как у Митриновича пока. Но их можно снять, вернув произвольные углы в 1-2 четверти по формулам $x_k=y_k+\pi n(k)$, неравенство при этом не изменится, вот и всё.

В результате обсуждения здесь стало ясно, что проще начать с неравенства

$$ |\sin(\sum x_k)|\le \sum|\sin(x_k)|, $$

которое уже верно всегда и тоже сразу доказывается индукцией, а далее применить неравенство Коши-Буняковского. Более простое доказательство пока не получается, как мне кажется. Возможно, оно будет ещё предложено. И остаётся вопрос о ссылке на известную публикацию. Претензий что это что-то новое конечно никаких нет.

[Руст]

Если все $x_i\ge 0$, то из убывания $g(x)$ неравенство сразу следует. Мне потребовалось приводит только для учета того, что $x_i$ могут иметь разные знаки.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1010955 писал(а):

$$ |\sin(\sum x_k)|\le \sum\sin(x_k), 0<x_k<\pi. $$

Это неравенство элементарно доказывается по индукции

Ещё тривиальнее по индукции доказывается, что

$$|\sin(\sum x_k)|\leqslant\sum|\sin(x_k)|$$

, притом безо всяких ограничений на углы. Просто так, тупо, в лоб -- и автоматически доказывается.

-- Пн май 04, 2015 02:19:22 --

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1010955 писал(а):

Более простое доказательство пока не получается, как мне кажется

Более простое -- невозможно; куды уж проще.