Математическая логика. Теории о структурах (?)

[lim(f(x))]

В книге Hinman - "Fundamentals of Mathematical Logic" пишут:

Цитата:

Mathematics is often concerned with theories. Informally a theory involves a collection of results and notions around a common theme. A major concern of Mathematical Logic is the analysis of mathematical theories, and for this purpose we require a more precise specification. A theory will be determined by a particular language and a set T of statements of this language which is closed under logical consequence: if $T \models \phi $, then already $\phi \in T$. Then a theory is consistent iff it contains no contradictory statement and complete iff for every statement $\psi$ of the language, either $\psi \in T$ or $\neg \psi \in T$.
Theories arise in two quite different ways: if $\Gamma$ is a set of statements, then $Th(\Gamma) = \{\psi : \Gamma \models \psi\}$ is the theory generated by the members of $\Gamma$ considered as axioms, the logical consequences of $\Gamma$; $T$ is called an axiomatic theory; if $\mathfrak{A}$ is a structure, then $Th(\mathfrak{A}) = \{\psi : \psi$ is true about $\mathfrak{A}\}$ is the theory of the structure. Although the theory of a structure is automatically both consistent and complete, an axiomatic theory may be either, both, or neither.

Не понимаю, почему "theory of a structure is automatically both consistent and complete".
В теории есть только выражения "X истинно для данной структуры", где X - что-то из языка. Значит, для любой структуры мы можем узнать, выполняется ли что-то для неё, если это что-то есть в языке? Если да, почему это считается очевидным?

Что я не так понял?

-- 02.05.2015, 02:09 --

Забыл сказать, под структурой подразумевается набор $\mathfrak{A} = (A, F, G, R, r, s)$, где $A$ - непустое множество, $F$ и $G$ - функции вида $(A,A) \rightarrow A$, $R$ - бинарное отношение, $r$ и $s$ - элементы $A$.

Если в теории есть утвержения вида "$\psi$ истинно о $\mathfrak{A}$", то при вопросах вроде $A$ - множество натуральных чисел, или $r$ - не содержится в образах функций $F$ интуитивно утверждение кажется истинным, но как формализовать, мне непонятно.
Если утверждения вида "в структуре натуральных чисел справедливо $X$", то даже интуитивно не кажется истинным.

[Dan B-Yallay]

lim(f(x)) в сообщении #1010222 писал(а):

Забыл сказать, под структурой подразумевается набор $\mathfrak{A} = (A, F, G, R, r, s)$, где $A$ - непустое множество, $F$ и $G$ - функции вида $(A,A) \rightarrow A$, $R$ - бинарное отношение, $r$ и $s$ - элементы $A$.

Если не вру, формальная арифметика подходит под данное определение структуры. Тогда неясно почему она полна. Или вру?

[arseniiv]

lim(f(x)) в сообщении #1010222 писал(а):

В теории есть только выражения "X истинно для данной структуры", где X - что-то из языка.

lim(f(x)) в сообщении #1010222 писал(а):

Если в теории есть утвержения вида "$\psi$ истинно о $\mathfrak{A}$"

Нет-нет-нет, в теории есть только сами эти $\psi$. Как вы собрались записывать «$\psi$ истинно об $\mathfrak A$» в том же самом языке, которому принадлежит $\psi$?

Соответственно, если $\psi$ верно для $\mathfrak A$, то $\neg\psi$, понятное дело, неверно и $\mathrm{Th}(\mathfrak A)$ не принадлежит — это следует из присвоения формулам значений в интерпретации, откуда непротиворечивость. Полнота из того что все формулы получают какое-то значение.

Не помню, определяются ли там модели раньше или позже, но теория структуры $\mathfrak A$ — это просто самая большая теория, моделью которой является (одна только) $\mathfrak A$.

lim(f(x)) в сообщении #1010222 писал(а):

Забыл сказать, под структурой подразумевается набор $\mathfrak{A} = (A, F, G, R, r, s)$, где $A$ - непустое множество, $F$ и $G$ - функции вида $(A,A) \rightarrow A$, $R$ - бинарное отношение, $r$ и $s$ - элементы $A$.

Это вы пример структуры привели, а не её общий вид. В общем там множество и сколько-то сколько-то-местных операций (и констант как нульместных, но эта книга, вроде, считала уместным их отделять) и сколько-то-местных отношений на нём, и набор и валентности их соответствуют таковым функциональных/предикатных символов, определяющих язык.

[gefest_md]

lim(f(x)) в сообщении #1010222 писал(а):

Не понимаю, почему "theory of a structure is automatically both consistent and complete".

Цитата:

Definition. A theory is a consistent set of sentences. (Shawn Hedman, "A first course in logic")

[lim(f(x))]

Спасибо, кажется, понял. Там не утверждения вида "$X$ истинно об $\mathfrak{A}$", а набор истинных утверждений об $\mathfrak{A}$

[arseniiv]

gefest_md, в обсуждаемой книге другое определение теории, и оно даже приведено в цитате:

lim(f(x)) в сообщении #1010222 писал(а):

Цитата:

A theory will be determined by a particular language and a set T of statements of this language which is closed under logical consequence: if $T \models \phi $, then already $\phi \in T$.

Т. е. такое: $\mathsf{isTheory}(T,L) \Leftrightarrow T\subset L\wedge\forall\phi\in L.\; T\vDash\phi\Rightarrow \phi\in T$, где $L$ — язык. Такая теория может быть противоречивой.