Объединения базисов

[AGu]

Пусть $X$ — произвольное векторное пространство над произвольным полем. Опишите все пары векторных подпространств $Y,Z\subseteq X$ таких, что объединение любого базиса $Y$ с любым базисом $Z$ является базисом $X$.

P.S. Имеются в виду базисы Гамеля. Под «описанием» подразумевается простое сведение к каким-либо классическим понятиям.

[patzer2097]

Ну $Y+Z=X$ и $Y\cap Z=0$, это же вроде совсем простая задача?

[AGu]

patzer2097 в сообщении #1010078 писал(а):

Ну $Y+Z=X$ и $Y\cap Z=0$, это же вроде совсем простая задача?

Согласен, задача простая. Тем удивительнее, что у нее другой ответ.

[Evgenjy]

patzer2097 в сообщении #1010078 писал(а):

$Y\cap Z=\varnothing$

Видимо Вы имели ввиду $Y\cap Z=\left\lbrace 0 \right\rbrace$.

[patzer2097]

AGu, а что не так? Если $Z$ и $Y$ пересекаются, то мы можем дополнить их общий вектор до базиса $Z$ и до базиса $Y$, и тогда объединение этих базисов не будет линейно зависимо. Если $X\neq Y+Z$, то объединение базисов не порождает $X$.
Ну и наоборот, условие $Y\cap Z=0$ гарантирует, что объединение любых базисов $Y$ и $Z$ линейно независимо, а условие $Y+Z=X$ - что это объединение порождает $X$.
Может быть, я что-то не так понял? Или Вы имеете в виду, что надо рассмотреть отдельно случай, когда над полем из двух элементов пересечение содержит один элемент?

[Oleg Zubelevich]

берем две обычные пересекающиеся плоскости в $\mathbb{R}^3$

[AGu]

patzer2097 в сообщении #1010091 писал(а):

Если $Z$ и $Y$ пересекаются, то мы можем дополнить их общий вектор до базиса $Z$ и до базиса $Y$, и тогда объединение этих базисов не будет линейно зависимо. Если $X\neq Y+Z$, то объединение базисов не порождает $X$.
Ну и наоборот, условие $Y\cap Z=0$ гарантирует, что объединение любых базисов $Y$ и $Z$ линейно независимо, а условие $Y+Z=X$ - что это объединение порождает $X$.

Здесь где-то (не скажу где ) кроется ошибочка.

В этой задаче есть забавная ловушка. Я сам в нее попался, когда придумывал эту задачу для студентов.

-- 2015.05.01 23:40 --

patzer2097 в сообщении #1010091 писал(а):

Или Вы имеете в виду, что надо рассмотреть отдельно случай, когда над полем из двух элементов пересечение содержит один элемент?

Виноват, я слишком рано стал отвечать: Вы еще не успели полностью написать решение. Вы очень близки к тому, чтобы выбраться из ловушки. (Жаль, что студентам не дали шанс попасть в нее. )

[patzer2097]

Oleg Zubelevich в сообщении #1010097 писал(а):

берем две обычные пересекающиеся плоскости в $\mathbb{R}^3$

А что показывает этот пример?

AGu в сообщении #1010098 писал(а):

В этой задаче есть забавная ловушка.

Ага, и состоит она в том, что помимо описанных мной пространств, подойдут еще $X$, $Y$, $Z$, равные одномерному пространству над полем из двух элементов. Так?

[AGu]

patzer2097 в сообщении #1010101 писал(а):

AGu в сообщении #1010098 писал(а):

В этой задаче есть забавная ловушка.

Ага, и состоит она в том, что помимо описанных мной пространств, подойдут еще $X$, $Y$, $Z$, равные одномерному пространству над полем из двух элементов. Так?

Ага. Весело, правда?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #1010101 писал(а):

А что показывает этот пример?

ничего, я пропустил в условии задачи требование того, что объединение базисов тоже должно быть базисом, подумал, что объединение должно просто порождать пространство

[patzer2097]

AGu в сообщении #1010104 писал(а):

Весело, правда?

Согласен, что это подходящее описание.

AGu в сообщении #1010098 писал(а):

(Жаль, что студентам не дали шанс попасть в нее. )

Да, прошу прощения, если что. Впрочем, студенты в математике найдут и другие ловушки помимо $\{a,a\}=\{a\}$

[Evgenjy]

Для векторных пространств принято, что объединение системы векторов $\left\lbrace a, b\right\rbrace$ и $\left\lbrace b, c\right\rbrace$ есть $\left\lbrace a, b, b, c\right\rbrace$, а не $\left\lbrace a, b, c\right\rbrace$, как в теории множеств.

[AGu]

Evgenjy в сообщении #1010131 писал(а):

Для векторных пространств принято, что объединение системы векторов $\left\lbrace a, b\right\rbrace$ и $\left\lbrace b, c\right\rbrace$ есть $\left\lbrace a, b, b, c\right\rbrace$, а не $\left\lbrace a, b, c\right\rbrace$, как в теории множеств.

Вы ошибаетесь.

Предлагаю завтра обсудить это в ЛС. (А то сейчас спать хочется. )

[Update] Оказалось, что под записью вида $\{a,b,c\}$ Evgenjy в данном случае понимает не множество, состоящее из $a,b,c$, а семейство. Тогда разногласия очевидны. Я, говоря о базисах, имел в виду множества, а не семейства.

Слова «Вы ошибаетесь» я зачеркнул. Приношу Evgenjy свои извинения. Надеюсь, что недоразумение устранено.

[Evgenjy]

AGu в сообщении #1010137 писал(а):

Надеюсь, что недоразумение устранено.

Да, конечно.
Теперь каждый сможет разобраться в возможных трактовках задачи и соответствующих решениях.