2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 19:23 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Пусть $X$ — произвольное векторное пространство над произвольным полем. Опишите все пары векторных подпространств $Y,Z\subseteq X$ таких, что объединение любого базиса $Y$ с любым базисом $Z$ является базисом $X$.

P.S. Имеются в виду базисы Гамеля. Под «описанием» подразумевается простое сведение к каким-либо классическим понятиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 19:56 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Ну $Y+Z=X$ и $Y\cap Z=0$, это же вроде совсем простая задача? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:17 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
patzer2097 в сообщении #1010078 писал(а):
Ну $Y+Z=X$ и $Y\cap Z=0$, это же вроде совсем простая задача? :-)
Согласен, задача простая. Тем удивительнее, что у нее другой ответ. ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:18 


13/08/14
350
patzer2097 в сообщении #1010078 писал(а):
$Y\cap Z=\varnothing$

Видимо Вы имели ввиду $Y\cap Z=\left\lbrace 0 \right\rbrace$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:23 
Заслуженный участник


14/03/10
867
:twisted:
AGu, а что не так? Если $Z$ и $Y$ пересекаются, то мы можем дополнить их общий вектор до базиса $Z$ и до базиса $Y$, и тогда объединение этих базисов не будет линейно зависимо. Если $X\neq Y+Z$, то объединение базисов не порождает $X$.
Ну и наоборот, условие $Y\cap Z=0$ гарантирует, что объединение любых базисов $Y$ и $Z$ линейно независимо, а условие $Y+Z=X$ - что это объединение порождает $X$.
Может быть, я что-то не так понял? Или Вы имеете в виду, что надо рассмотреть отдельно случай, когда над полем из двух элементов пересечение содержит один элемент? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:33 


10/02/11
6786
берем две обычные пересекающиеся плоскости в $\mathbb{R}^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:34 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
patzer2097 в сообщении #1010091 писал(а):
Если $Z$ и $Y$ пересекаются, то мы можем дополнить их общий вектор до базиса $Z$ и до базиса $Y$, и тогда объединение этих базисов не будет линейно зависимо. Если $X\neq Y+Z$, то объединение базисов не порождает $X$.
Ну и наоборот, условие $Y\cap Z=0$ гарантирует, что объединение любых базисов $Y$ и $Z$ линейно независимо, а условие $Y+Z=X$ - что это объединение порождает $X$.
Здесь где-то (не скажу где :bebebe:) кроется ошибочка.

В этой задаче есть забавная ловушка. Я сам в нее попался, когда придумывал эту задачу для студентов. :-)

-- 2015.05.01 23:40 --

patzer2097 в сообщении #1010091 писал(а):
Или Вы имеете в виду, что надо рассмотреть отдельно случай, когда над полем из двух элементов пересечение содержит один элемент? :D
Виноват, я слишком рано стал отвечать: Вы еще не успели полностью написать решение. Вы очень близки к тому, чтобы выбраться из ловушки. (Жаль, что студентам не дали шанс попасть в нее. :-))

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:42 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Oleg Zubelevich в сообщении #1010097 писал(а):
берем две обычные пересекающиеся плоскости в $\mathbb{R}^3$
А что показывает этот пример?
AGu в сообщении #1010098 писал(а):
В этой задаче есть забавная ловушка.
Ага, и состоит она в том, что помимо описанных мной пространств, подойдут еще $X$, $Y$, $Z$, равные одномерному пространству над полем из двух элементов. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:45 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
patzer2097 в сообщении #1010101 писал(а):
AGu в сообщении #1010098 писал(а):
В этой задаче есть забавная ловушка.
Ага, и состоит она в том, что помимо описанных мной пространств, подойдут еще $X$, $Y$, $Z$, равные одномерному пространству над полем из двух элементов. Так?
Ага. :-) Весело, правда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:49 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #1010101 писал(а):
А что показывает этот пример?

ничего, я пропустил в условии задачи требование того, что объединение базисов тоже должно быть базисом, подумал, что объединение должно просто порождать пространство

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 21:04 
Заслуженный участник


14/03/10
867
AGu в сообщении #1010104 писал(а):
Весело, правда?
Согласен, что это подходящее описание. :-)
AGu в сообщении #1010098 писал(а):
(Жаль, что студентам не дали шанс попасть в нее. :-))
Да, прошу прощения, если что. Впрочем, студенты в математике найдут и другие ловушки помимо $\{a,a\}=\{a\}$ :bebebe:

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 21:10 


13/08/14
350
Для векторных пространств принято, что объединение системы векторов $\left\lbrace a, b\right\rbrace$ и $\left\lbrace b, c\right\rbrace$ есть $\left\lbrace a, b, b, c\right\rbrace$, а не $\left\lbrace a, b, c\right\rbrace$, как в теории множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 21:29 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Evgenjy в сообщении #1010131 писал(а):
Для векторных пространств принято, что объединение системы векторов $\left\lbrace a, b\right\rbrace$ и $\left\lbrace b, c\right\rbrace$ есть $\left\lbrace a, b, b, c\right\rbrace$, а не $\left\lbrace a, b, c\right\rbrace$, как в теории множеств.
Вы ошибаетесь.

Предлагаю завтра обсудить это в ЛС. (А то сейчас спать хочется. :-))

[Update] Оказалось, что под записью вида $\{a,b,c\}$ Evgenjy в данном случае понимает не множество, состоящее из $a,b,c$, а семейство. Тогда разногласия очевидны. Я, говоря о базисах, имел в виду множества, а не семейства.

Слова «Вы ошибаетесь» я зачеркнул. Приношу Evgenjy свои извинения. Надеюсь, что недоразумение устранено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение02.05.2015, 15:14 


13/08/14
350
AGu в сообщении #1010137 писал(а):
Надеюсь, что недоразумение устранено.

Да, конечно.
Теперь каждый сможет разобраться в возможных трактовках задачи и соответствующих решениях.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group