Задача на НОК.

[Andrei94]

Найдутся ли семь таких различных натуральных чисел, что у любых двух из них — одно и то же наименьшее общее кратное?

Если мы в последовательность из более двух чисел включим $1$, то $HOK(a,1)=a$, $HOK(1,b)=b$, тогда получим противоречие, потому как числа $a$ u $b$ должны быть различны.

Пусть у нас есть два различных натуральных числа больших $1$: $a$ и $b$. Пусть $HOK(a,b)=n$, тогда можно взять третье число в эту последовательность, а именно $n$ (если бы взяли любое другое число, отличное от $n$, то из $HOK(a,b)=n$ и $HOK(a,c)=n$, следовало бы то, что $b=c$, что противоречит условию).
У трех чисел $a,b,n$ будет $HOK(a,b)=n$. Если мы попытаемся взять четвертое число $c$ в эту последовательность, тогда получим противоречие, потому как $HOK(c,n)=n$, тогда $c=1$. Но мы рассматривали числа большие 1.
То есть более 3 чисел быть не может. Верно?

[ex-math]

Вы знаете как записывается каноническое разложение НОК двух чисел, если их разложения известны? Так будет проще, мне кажется.

-- 01.05.2015, 19:15 --

Andrei94 в сообщении #1010048 писал(а):

из $HOK(a,b)=n$ и $HOK(a,c)=n$, следовало бы то, что $b=c$

Andrei94 в сообщении #1010048 писал(а):

$HOK(c,n)=n$, тогда $c=1$

Это неверно. И рассуждение, и ответ у Вас ошибочны.

[Andrei94]

Да, уже понял про $c=1$ ошибку.

Пусть известно разложение множители:
$a=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k}$
$b=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k}$
где $p_1,\dots,p_k$ — различные простые числа, а $d_1,\dots,d_k$ и $e_1,\dots,e_k$ — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда $HOK(a;b)$ вычисляется по формуле:
$HOK(a;b)=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}$

Вот это разложение НОК вы имели ввиду? А как оно может помочь?

Кажется, придумал:

$a_1=2^6\cdot 3^7\cdot 5^7\cdot 7^7\cdot 11^7\cdot 13^7\cdot 13^7$

$a_2=2^7\cdot 3^6\cdot 5^7\cdot 7^7\cdot 11^7\cdot 13^7\cdot 13^7$

$a_3=2^7\cdot 3^7\cdot 5^6\cdot 7^7\cdot 11^7\cdot 13^7\cdot 13^7$

$a_4=2^7\cdot 3^7\cdot 5^7\cdot 7^6\cdot 11^7\cdot 13^7\cdot 13^7$

$a_5=2^7\cdot 3^7\cdot 5^7\cdot 7^7\cdot 11^6\cdot 13^7\cdot 13^7$

$a_6=2^7\cdot 3^7\cdot 5^7\cdot 7^7\cdot 11^7\cdot 13^6\cdot 13^7$

$a_7=2^7\cdot 3^7\cdot 5^7\cdot 7^7\cdot 11^7\cdot 13^7\cdot 13^6$

У них НОК будет равен $2^7\cdot 3^7\cdot 5^7\cdot 7^7\cdot 11^7\cdot 13^7\cdot 13^7$

Правильно?

[ex-math]

В общем, да.
На самом деле, достаточно первых степеней. Можно взять $2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ и числа, получаемые из него убиранием ровно одного множителя.