Функционально-дифференциальные уравнения

[Дмитрий Хованский]

Друзья!

Меня очень интересует одна область из теории ФДУ. А именно, уравнения вида
$\dot x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau))$, где $\tau=\tau(t,x(t))$ . То есть, запаздывание зависит от самого решения. В иностранной литературе это обычно называют State Dependent Delay.
1. Известно ли Вам что-нибудь о КРАЕВЫХ задачах для такого типа уравнений?
2. Есть ли какие-нибудь приложения этой теории (именно к краевым задачам)?

В теме "Физика" я уже задавал вопрос о Теории Уилера-Фейнмана, кооторая, как мне известно, описывается с помощью похожих уравнений, но ответа не дождался.

Заранее всем благодарен!

[ГАЗ-67]

Двухточечные задачи . А что именно Вас интересует ?
ФДУ применяются в тех областях , где текущее состояние объекта зависит от его состояния в течении предыдущего отрезка времени . Вязкоупругость , ТАУ напр.
Вроде бы так , насколько припоминается .

[нг]

тема перещена из дискуссионых, пока в «помогите решить», может быть, переедет в «математика» // нг

[Дмитрий Хованский]

Уважаемый, ГАЗ-67!

Большое спасибо за ответ. Интересуют ВСЕ ссылки на ЛЮБЫЕ приложения!
Задача приблизительно должна иметь вид
$\dot{x}(t)=f(t,x(t),x(t-\tau(t,x(t))))$ c условиями $x=\phi$ при $t\in(-\alpha,0)$ и $x=\psi$ при $t\in(T,T+\beta)$. Требуется найти функцию на $(0,T)$.

Вы говорите о вязкоупругости и ТАУ... Я понимаю, что такие задачи должны быть (например, я знаю задачу об эхопозиционировании в ТАУ), но не знаете ли Вы ссылки на конкретные работы с такой запаздывающей моделью?

Заранее спасибо!

[ГАЗ-67]

Есть книга Беллмана по ФДУ .
По конкретным приложениям журналы "Дифференциальные уравнения" и "Автоматика и телемеханика" .

[ГАЗ-67]

То что Вы описали затрагивает очень широкий класс уравнений .

[Дмитрий Хованский]

Действительно, то что я написал затрагивает общий класс уравнений, но лишь в том случае, когда запаздывание $\tau$ есть константа или функция времени. По этому поводу, я действительно не решусь перечислить полный список литературы. Безусловно, в него будут включены такие книги как Р. Беллман и К. Кук "Дифференциально-разностные уравнения", книга Л. Э. Эльсгольца и С. Б. Норкина "Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом", книга Хейла и многие-многие другие...

Но все дело в том, что запаздывание $\tau$ зависит от неизвестной (искомой) функции. Я могу перечислить основные (исторически - первые) работы, касающиеся этой тематики, но их существенно меньше. Основные авторы: Норкин, Драйвер, Хартунг, Вальтер (это уже из современных), и опять же многие другие... Но из всех этих работ, во-первых никто (насколько мне известно) не рассматривал, так называемую, краевую задачу (назвать ее двухточечной у меня не поворачивается язык) с данными на двух отрезках, а во-вторых из реальных приложений можно указать только задачу эхопозиционирования, спорную теорию Уилера-Фейнмана в квантовой электродинамике... Да и все, пожалуй.

Огромная просьба к Вам не писать, что это можно найти везде, например, в журнале "Дифференциальные уравнения". Если для Вас это настолько популярная тема, - не томите и скажите, хотя бы к кому можно обратиться с моим вопросом.

[IRINAK]

У меня тоже вопрос из этой области:

Цитирую Эльсгольца:
Линейные дифференциально-разностные уравнения первого порядка делятся на три
вида:

\indent{1) уравнения с запаздывающим аргументом;}

\indent{2) уравнения нейтрального типа;}

\indent{3) уравнения опережающего типа.}

В приложениях наиболее часто встречаются уравнения с запаздывающим аргументом,
реже - уравнения нейтрального типа. Прикладных задач, сводящихся к уравнениям опережающего
типа известно пока совсем немного.

В связи с этим вопрос: Кто-нибудь знает хотя бы ОДНО уравнение опережающего типа (задачу) в какой-то конкретной области (физика, биология, медицина и т.п)

Добавлено спустя 6 минут 57 секунд:

Я еще Дмитрий могу Вам дать ссылку на тех кто работает со Скубачевским, хотя раз Вы из МАИ, то сами их наверное, знаете,

http://shamin.ru/pub.php

[V.V.]

Может, Скубачевский знает про приложения?

[IRINAK]

V.V. писал(а):

Может, Скубачевский знает про приложения?

Может, но он больше параболичностью и эллептичностью занимается Наверное, подойду, как семестр начнется , и "в лоб" спрошу, т.к. устала искать

[Дмитрий Хованский]

Дело в том, что я являюсь учеником Александра Леонидовча ))) Он занимается много чем (функционально-дифференциальные уравнения и нелокальные задачи - это его хлеб) и спросить его можно, он наверняка ответит. Только на мой изначальный вопрос, к сожалению, даже он ответа не знает.

[IRINAK]

Ох, ну тогда не знаю. Ищите и обязательно найдете!

[don Bass]

Подскажите, пожалуйста, какие применения могут иметь следующие результаты:

1. Точечный спектр оператора A:\ f\rightarrow\frac{d}{dx}f(x^2) есть 2, 2^2, 2^3,....

(A определен в L_2[0,1], D(A)=\{f\in AC[0,1], f(0)=0\})

2. Пусть \phi(x): [0,1]\rightarrow [0,1], \phi(x)--- возрастает и непрерывна и \phi(x)\geq xдля x\in (0,1).
Тогда точечный спектр оператора A:\ f\rightarrow\frac{d}{dx}f(\phi(x)) в пространсве L_2[0,1], D(A)=\{f\in AC[0,1], f(0)=0\}) конечен тогда и только тогда, когда \phi(0)>0 и \phi(1-\varepsilon)=1для некоторого \varepsilon\in (0,1) ( то есть \phi(x) тождественно равно 1 в некоторой окрестности точки 1)

Похоже на дифференциальные уравнения с опережающим временем. В принципе можно легко перегнать и в запаздывающее время на полуоси(правда возникнут веса).

В отечественных (старых) книжках и в книжках

Agarwal R., et al. Nonoscillation and Oscillation.. Theory for Functional Differential Equations (ISBN 0824758455)(M.Dekker, 2004)(382s)_MCde_

Agarwal R.P., Grace S.R., O'Regan D. Oscillation theory for difference and functional differential equations (Kluwer, 2000)(ISBN 0792362896)(600dpi)(K)(T)(O)(346s)_MCde_

Arino O., Hbid M.L., Ait Dads E. (eds.) Delay differential equations and applications (Springer, 2006)(570s)_MCde_

Busenberg, Martelli. Delay-differential equations and dynamical systems (LNM1475, Springer, 1991)(ISBN 3540541209)(T)(268s)_MCde_

Erbe L.H., Qinkai Kong, B.G.Zhang. Oscillation Theory for Functional Differential Equations (M.Dekker,1995)(ISBN 0824795989)(T)(488s)_MCde_

Hejl Dzh. (_Hale J._) Teoriya funkcional'no-differencial'nyh uravnenij (Mir, 1984)(ru)(T)(421s)_MCat_

ничего подобного не обнаружил