Частичные пределы/ неравенство

[ShiNeko]

Здравствуйте! Кто-нибудь знает как делать следующую задачу?

Для последовательности $\{a_n, n\geqslant 1\}$ пусть $A_n=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n},\ n\geqslant1$. Доказать справедливость следующих неравенств:
$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\leqslant\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n.$

Помогите, пожалуйста. Уже битый час пытаюсь сделать. Мне достаточно подсказки. :)

[svv]

$A_n=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$
Подсказка 1. $A_n$ не может быть больше наибольшего из $a_i$, $i=1..n$, и не может быть меньше наименьшего.
Подсказка 2. Последовательности $(\inf a_n)$, $(\inf A_n)$, $(\sup A_n)$, $(\sup a_n)$ монотонны.

[patzer2097]

ShiNeko в сообщении #1009320 писал(а):

Доказать справедливость следующих неравенств: $\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\leqslant\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n.$

если $a_i\leqslant V$ для всех $i$, а также $a_i\leqslant v$ для $i>n_0$, то $A_n\leqslant v+n_0V n^{-1}=v+o(1)$.

[ShiNeko]

svv в сообщении #1009333 писал(а):

$A_n=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$
Подсказка 1. $A_n$ не может быть больше наибольшего из $a_i$, $i=1..n$, и не может быть меньше наименьшего.
Подсказка 2. Последовательности $(\inf a_n)$, $(\inf A_n)$, $(\sup A_n)$, $(\sup a_n)$ монотонны.

Спасибо! К сожалению, эти подсказки мне не помогают. ( Я все еще не понимаю, как мне показать, что начиная с некоторого номера $n:$\ \inf\limits_{k\geqslant n}a_k\leqslant\inf\limits_{k\geqslant n}A_k.

Если бы $\inf\limits_{k\geqslant n}a_k\leqslant\inf\limits_{k=1,...,n}a_k,$ то это бы доказать было легко. Но это не для всех $\{a_{n},\ n\geqslant1\}$ так.

patzer2097 в сообщении #1009344 писал(а):

ShiNeko в сообщении #1009320 писал(а):

Доказать справедливость следующих неравенств: $\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\leqslant\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n.$

если $a_i\leqslant V$ для всех $i$, а также $a_i\leqslant v$ для $i>n_0$, то $A_n\leqslant v+n_0V n^{-1}=v+o(1)$.

Я не очень понимаю, чем это поможет. Получается, что показано, что если $a_n$ ограничено сверху, то сверху ограничено и $A_n$.

[ShiNeko]

patzer2097 в сообщении #1009344 писал(а):

ShiNeko в сообщении #1009320 писал(а):

Доказать справедливость следующих неравенств: $\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\leqslant\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}A_n\leqslant\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n.$

если $a_i\leqslant V$ для всех $i$, а также $a_i\leqslant v$ для $i>n_0$, то $A_n\leqslant v+n_0V n^{-1}=v+o(1)$.

Я поняла, если $v$ - это верхний предел $a_n$, то начиная с некоторого номера $n_0:$ $a_n<v+\varepsilon.$ А тогда, $A_n\leqslant \frac{n_0 D}{n}+\frac{(n-n_0-1)}{n}v=v+o(1).$ Спасибо большое!

[svv]

ShiNeko в сообщении #1009457 писал(а):

Спасибо! К сожалению, эти подсказки мне не помогают. ( Я все еще не понимаю, как мне показать, что начиная с некоторого номера $n: \inf\limits_{k\geqslant n}a_k\leqslant\inf\limits_{k\geqslant n}A_k$.

Даже не начиная с некоторого $n$, а для любого $n$ справедливо $\inf\{a_n\}\leqslant \inf \{A_n\}$.
Здесь $\{a_n\}$ обозначает множество всех $a_k$ с $1\leqslant k \leqslant n$, аналогично понимается $\{A_n\}$.

Допустим, это не так. Тогда для некоторого $k\leqslant n$ будет $A_k<\inf\{a_n\}$. Но по первой подсказке $\inf\{a_k\}\leqslant A_k$, откуда $\inf\{a_k\}<\inf\{a_n\}$, что противоречит второй подсказке.

Другое дело, что Вы можете не понимать, почему справедливы подсказки.

[ShiNeko]

svv в сообщении #1009594 писал(а):

Допустим, это не так. Тогда для некоторого $k\leqslant n$ будет $A_k<\inf\{a_n\}$. Но по первой подсказке $\inf\{a_k\}\leqslant A_k$, откуда $\inf\{a_k\}<\inf\{a_n\}$, что противоречит второй подсказке.

То, что $\inf\limits_{k=1,...,n}a_k\leqslant\inf\limits_{k=1,...,n}A_n$ это здорово, но ведь не это неравенство необходимо, а то, которое я написала выше, а именно $\inf\limits_{k\geqslant n}a_k\leqslant\inf\limits_{k\geqslant n}A_k.$ И переходя к пределу в котором мы бы получили нижние пределы.

svv в сообщении #1009594 писал(а):

Другое дело, что Вы можете не понимать, почему справедливы подсказки.

Пусть Вас не смущает мой профиль, от лица которого написано всего четыре сообщения. Я знаю, что на таких форумах часто регистрируются школьники и студенты, которые не хотят ничего делать, а только мечтают, чтобы им все решили. Но прошу Вас, пожалуйста, не нужно меня причислять к ним. Такими подходами как у них, я бы не заканчивала мехмат, а давно с него бы вылетела. Я написала, что мне не помогли подсказки, не чтобы получить полное решение ничего не делая, а потому что я просидела весь вчерашний день и у меня с ними ничего не получилось. Ничего не поделаешь, бывает, что решения простых задач ускользает от нашего внимания.

[svv]

ShiNeko в сообщении #1009699 писал(а):

То, что $\inf\limits_{k=1,...,n}a_k\leqslant\inf\limits_{k=1,...,n}A_n$ это здорово, но ведь не это неравенство необходимо, а то, которое я написала выше, а именно $\inf\limits_{k\geqslant n}a_k\leqslant\inf\limits_{k\geqslant n}A_k.$

Всё понятно, извините, я неправильно понял задание.