События с вероятностями 0 или 1

[Nathalie]

Недавно была первая лекция по теории вероятностей, препод удивил меня утверждением, что событие может и не произойти, если его вероятность = 1. И в обратном случае: событие может произойти, если его вероятность = 0.
Что-то мне кажется, что это не так. И папа-физик сказал, что если вероятность 100%, то событие ОБЯЗАТЕЛЬНО произойдёт. Разъясните пожалуйста.

[yvanko]

Насколько я понимаю, нет.
Пример - вроятность случайно выбрать произвольную точку отрезка равна 0. Но в то же время если мы выберем некоторую точку то для этой точки свершится событие, вероятность которого была равна 0. С вероятносью 1 аналогично.

[Nathalie]

Он так и говорил, но ведь вероятность выбора произвольной точки из отрезка всё же не ноль, а очень-очень маленькое число, но всё же не ноль.

[Руст]

А насколько малое не равное нулю? Ответ и есть объяснение.

[PAV]

Конечно же, вероятность выбрать произвольную точку отрезка равна нулю, и поэтому событие с вероятностью 0 может произойти.

Другое дело, что когда речь идет о моделях, в которых число событий конечно, то как правило считают, что вероятность 0 приписана только невозможному событию, которое никогда не происходит. Вероятно, Ваш папа-физик имел в виду именно эту ситуацию.

Я обычно студентам объясняю этот факт так. Что такое, собственно, вероятность события А? Допустим, мы проведем эксперимент n раз и посчитаем частоту, с которой событие А происходило в этих экспериментах. Гипотеза о существовании вероятности P(A) есть гипотеза о том, что при стремлении n к бесконечности насчитываемая частота будет стремиться к некоторому пределу, который ни от чего не зависит, кроме самого события А. Этот предел (если он существует) и называется вероятностью события А.

Но Вы, конечно, понимаете, что утверждение о том, что предел некоторой последовательности равен нулю, не означает, что все члены этой последовательности равны нулю. Например, если событие А произошло в первом же эксперименте и больше не произошло ни разу, то его частоты будут равны 1, 1/2, 1/3, 1/4 ...

Эта последовательность стремится к нулю, т.е. вероятность события А равна нулю. Таким образом, это ничуть не противоречит тому, что событие А может произойти.

Собственно, именно это и может происходить в гипотетическом эксперименте с выбором точки из отрезка. Так как точек континуум, то будучи один раз выбранной заданная точка почти наверняка потом никогда выбрана не будет.

Естественно, это математическая абстракция, в реальности такой эксперимент невозможен.

[Cube]

Классическое определение вероятности тут смысла не имеет, так как множество всех элементарных событий несчётно.
А геометрическое определение... ну не знаю, разве что если имеет смысл выражение "длина точки".

[Аурелиано Буэндиа]

yvanko писал(а):

Пример - вроятность случайно выбрать произвольную точку отрезка равна 0.

А разве это суждение корректное?
Мне кажется, что можно говорить только о вероятности попадания точки в некоторый интервал

[PAV]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Мне кажется, что можно говорить только о вероятности попадания точки в некоторый интервал

Точка является частным случаем интервала.

А вообще можно говорить о попадании точки в некоторое борелевское множество.

[Аурелиано Буэндиа]

PAV писал(а):

Точка является частным случаем интервала.
А вообще можно говорить о попадании точки в некоторое борелевское множество.

Да, пожалуй это так. Да, можно на интервале $[0,1]$ ввести плотность
распределения $f(x)=\delta(x-1/2)$, но тогда чему будет равна вероятность попадания в точку $x=1/2$?
И как это стыкуется с тем, что вероятность всегда меньше либо равна 1?

[Dan_Te]

Видимо, такая вероятность будет равна единице.
Со свойствами вероятности это будет нормально стыковаться. Если мы определим вероятностную меру на [0,1] при помощи такой плотности, мера любого борелевского множества, содержащего 1/2, будет равна единице. Соответственно, если борелевское множество не содержит 1/2, то его мера равна нулю. Больше единицы никогда не будет.

[Аурелиано Буэндиа]

to Dan_Te

Ок. Кажется проблем можно избежать =)

[zkutch]

позвольте предложить еще следующую версию ответа:

рассматривая классическую меру Лебега на отрезке [0, 1] знаем, что мера подмножества рациональных чисел есть 0, в то время как мера подмножества иррациональных чисел есть 1. Выбирая наугад точку из отрезка, вполне может оказаться что выбрано рациональное число – тогда это и есть упомянутый вначале факт: произошло событие вероятность которого 0 и не произошло событие вероятность которого 1.

В связи c высказанным фактом стоит почитать "Парадокс нулевой вероятности" на стр. 190, в книге Г. Секкей "Парадоксы. …", 1990г. То же что я предложил, фактически, плагиат Феллера.

Кстати, если не трудно, Nathalie, приведите и объяснение вашего препода. Возможно его вариант, с какой-то точки зрения, красивее всех предложенных.

[Котофеич]

Nathalie писал(а):

Недавно была первая лекция по теории вероятностей, препод удивил меня утверждением, что событие может и не произойти, если его вероятность = 1. И в обратном случае: событие может произойти, если его вероятность = 0.
Что-то мне кажется, что это не так. И папа-физик сказал, что если вероятность 100%, то событие ОБЯЗАТЕЛЬНО произойдёт. Разъясните пожалуйста.

Неколмогоровские теории вероятностей и квантовая физика.
Хренников А.Ю. 2003. 208 с. 399 руб.
http://edurss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&page ... ru&list=37

[Nathalie]

zkutch писал(а):

Кстати, если не трудно, Nathalie, приведите и объяснение вашего препода. Возможно его вариант, с какой-то точки зрения, красивее всех предложенных.

По сути его объяснение такое же. Красивее оно разве что с точки зрения наглядности.

Возьмём доску. Вероятность того, что мы попадём в какую-то конкретную точку, забивая гвоздь, нулевая. Но если столяр хорошо прицелится, то он может в неё попасть. Таким образом, это событие произойдёт.

[Dan_Te]

Мне не нравится такое объяснение. Если столяр может попасть в любую наперед заданную точку, то где тут случайность?

Мы ведь говорим о том, что попадание в точку есть случайное событие с нулевой вероятностью, а если у нас такой меткий столяр, то случайности уже нет.