Уравнения с комплексными числами.

[Monster]

Столкнулся с проблемой, что не знаю методов решения уравнений, подобных приведённым ниже. Подскажите пожалуйста.

1. $z^2 + \sqrt{3} \cdot z \cdot |z| + |z|^2 = 0$

Во-первых, я не до конца понимаю, под модулем z подразумевается длина вектора в комплексной СО или модуль самого комплексного числа( $|z| = |a + b\cdot i | $ или $|z| = \sqrt{а^2 + b^2} $ ).

2. $(z + 2\cdot i)^4 =( i\cdot z - 1)^4$

Степени ведь снять нельзя, верно? Из-за неоднозначности значения корня.

3. $(\vec{z})^2 = 2\cdot z$

Левую часть, наверное, имеет смысл разложить по определению скалярного произведения и получить $|z|^2$ , но потом я снова не знаю, что делать

4. Получить вещественную и мнимую часть комплексного числа $z = (-1 - \cos\varphi + i\cdot \sin\varphi)^n$ .

Мне кажется, что нужно представить число в тригонометрической форме, а после воспользоваться первой формулой Муавра. Однако почему-то это представление получается чересчур громоздко.

[svv]

Monster в сообщении #1008742 писал(а):

Во-первых, я не до конца понимаю, под модулем z подразумевается длина вектора в комплексной СО или модуль самого комплексного числа( $|z| = |a + b\cdot i | $ или $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ ).

Если $a, b$ вещественны, то $|a + bi |= \sqrt{a^2 + b^2}$.

[iifat]

Monster в сообщении #1008742 писал(а):

я не до конца понимаю, под модулем z подразумевается длина вектора в комплексной СО или модуль самого комплексного числа

Хм. В общем, да, под модулем комплексного числа обычно понимают модуль самогО комплексного числа. Или у вас там «сАмого комплексного числа»? А что такое «комплексная СО»? В алгебре комплексных чисел, естественно.
1) Стоит попробовать записать $z$ в экспоненциальной форме, не знаю уж как вам ещё подсказать, чтоб нечаянно не нарушить правила.
2) Степени просто так снять, разумеется, нельзя, именно по названной вами причине. Однако, значений у корня ьаки не бесконечно много...
3) Нет.
4) Формула Муавра — очень полезная формула. Надо её только правильно применить.

[arseniiv]

Monster в сообщении #1008742 писал(а):

3. $(\vec{z})^2 = 2\cdot z$

Левую часть, наверное, имеет смысл разложить по определению скалярного произведения и получить $|z|^2$ , но потом я снова не знаю, что делать

Откуда примерчик, если не секрет? Обычно так вещи не смешивают, и если нужно вдруг выразить скалярное произведение, его выражают сразу через обычные операции над комплексными числами как $(z\bar w+w\bar z)/2$. А $\vec z$ — это страшно.

[svv]

Там, наверное, $(\bar z)^2$.
Monster, присмотритесь, там точно стрелочка или только черточка? Какие могут быть векторы в этой теме?

[Monster]

svv в сообщении #1008830 писал(а):

Там, наверное, $(\bar z)^2$.
Monster, присмотритесь, там точно стрелочка или только черточка? Какие могут быть векторы в этой теме?

Нет, там точно стрелочка. Я ещё раз проверил.

Цитата:

Откуда примерчик, если не секрет? Обычно так вещи не смешивают, и если нужно вдруг выразить скалярное произведение, его выражают сразу через обычные операции над комплексными числами как $(z\bar w+w\bar z)/2$. А $\vec z$ — это страшно.

У меня просто есть лист задач по комплексными числа.

Цитата:

1) Стоит попробовать записать $z$ в экспоненциальной форме, не знаю уж как вам ещё подсказать, чтоб нечаянно не нарушить правила.

А можно как-нибудь решить без экспоненциальной? Используя, скажем, только тригонометрическую и алгебралическую?

Цитата:

3) Нет.

Почему нельзя заменить левую часть на $|z|^2$?

[ewert]

Monster в сообщении #1008838 писал(а):

А можно как-нибудь решить без экспоненциальной?

Можно: это квадратное уравнение для угадайте чего.

Monster в сообщении #1008838 писал(а):

Почему нельзя заменить левую часть на $|z|^2$?

Примерно по тем же причинам, по которым нельзя заменить её на логарифм килограмма.

Зато можно (и почти необходимо) представить обе части в показательной форме.

[Lia]

Monster в сообщении #1008838 писал(а):

Нет, там точно стрелочка.

Опечатка.

Monster в сообщении #1008838 писал(а):

А можно как-нибудь решить без экспоненциальной? Используя, скажем, только тригонометрическую и алгебралическую?

Можно. Заметив, что многочлен в левой части однороден относительно $z,\, |z|$. Разделите на что-нибудь, на модуль, например, вернее, вынесите за скобки, и вперед. Там видно будет.

Monster в сообщении #1008838 писал(а):

Почему нельзя заменить левую часть на $|z|^2$?

Потому что в $\mathbb C$ квадрат числа и квадрат модуля числа совсем не одно и то же. Посмотрите на $z=i$.

И пора начать уже что-то делать, в Карантин унесу. Столько подсказок и ни одной попытки ими пользоваться.

[Monster]

Цитата:

Можно. Заметив, что многочлен в левой части однороден относительно $z,\, |z|$. Разделите на что-нибудь, на модуль, например, вернее, вынесите за скобки, и вперед. Там видно будет.

Спасибо! Получилось.

Lia , у меня получилось решить все задачи, кроме второй. До меня пока не доходит, как справиться с ней.
Я попробовал перевести в тригонометрическую форму основания степеней и воспользоваться первой формулой Муавра, но получается крайне громоздкая, как мне кажется, нерешабельная штука.

Цитата:

Зато можно (и почти необходимо) представить обе части в показательной форме.

А можно как-то обойтись без этого и использовать только тригонометрической и алгебраической формами?

[Lia]

Monster в сообщении #1008917 писал(а):

Lia , у меня получилось решить все задачи, кроме второй. До меня пока не доходит, как справиться с ней.

Ну а что в ней такого. Решите уравнение $u^4=v^4$ над полем комплексных чисел.

Monster в сообщении #1008917 писал(а):

А можно как-то обойтись без этого и использовать только тригонометрической и алгебраической формами?

Не произойдет ничего страшного, если Вы наконец прочитаете, что такое показательная форма. По сути, она равносильна тригонометрической, но в работе значительно удобнее.

ЗЫ Кнопкой "Вставка" поучитесь пользоваться.

[Monster]

Цитата:

Ну а что в ней такого. Решите уравнение $u^4=v^4$ над полем комплексных чисел.

Я не знаю, как это решить.
Получается уравнение $e^{4i\varphi} = $e^{4i\alpha}$$, а как его решить?

[demolishka]

Monster в сообщении #1009226 писал(а):

как его решить?

Экспонента $2\pi$-периодична. В том смысле, что $e^{i\alpha} = e^{i\beta} \Leftrightarrow \alpha-\beta = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}.$

[iifat]

Monster в сообщении #1009226 писал(а):

Получается уравнение $e^{4i\varphi} = e^{4i\alpha}$, а как его решить?

Ну, перепишите ж его в тригонометрической форме, если так проще.

-- 30.04.2015, 00:39 --

demolishka в сообщении #1009229 писал(а):

Экспонента $2\pi$-периодична

Экспонента чего? Функция $e^z$ имеет период $2\pi i$, правда, не встречал, по-моему, такого термина в применении к функциям комплексной переменной. Функция $e^{ix}, x\in\mathbb R$ — она таки да.

[Brukvalub]

iifat в сообщении #1009230 писал(а):

...Функция $e^z$ имеет период $2\pi i$, правда, не встречал, по-моему, такого термина в применении к функциям комплексной переменной. ..

Боюсь вас огорчить, но в ТФКП бывают даже ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ функции!

[mihiv]

В задаче 2. можно действовать проще: заметим, что $(iz-1)^4=(z+i)^4$. После этого уравнение запишем в виде: $(z+2i)^4-(z+i)^4=0$ или $((z+2i)^2-(z+i)^2)((z+2i)^2+(z+i)^2)=0$.