chain fontain

[Kosterik]

Xey в сообщении #1008361 писал(а):

http://invisibleon.ru/728
Здесь список тем разрушителей, наверно всех.
Посмотрел до 82 о цепочке не было , видимо дальше.

Там только до 8-го сезона. А всего их 15.
Если меня память не подводит, то -

Kosterik в сообщении #1008330 писал(а):

но вот даже в каком сезоне это было - не возьмусь сказать точно, вроде где-то между 8 и 13

[Sender]

Допустим, мы имеем дело с установившимся режимом, когда цепь движется вдоль некоторой фиксированной плоской кривой с постоянной скоростью $v$. Пусть уравнение этой кривой имеет вид $y=y(x)$, тогда тангенс угла наклона касательной к этой кривой $\tg \alpha=\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} }$.
Рассмотрим силы, действующие на движущийся элемент цепи длиной, равной расстоянию, проходимому цепью за время $\mathrm{dt}$, находящийся в точке $(x,y)$. Его масса равна $\mathrm{dm}=\rho v \mathrm{dt}$, где $\rho$ - погонная масса цепи. На него с двух сторон действуют силы натяжения $\vec{T}$ и $\vec{T}+\vec{\mathrm{dT}}$, а также сила тяжести $\vec{g}\mathrm{dm}$. Поскольку его скорость неизменна по модулю, проекция суммарной силы на касательную к траектории равна нулю:
$\mathrm{dT}=g \sin \alpha \mathrm{dm}$,

$$\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}=\rho v g \sin \alpha \eqno{(1)}$$

(скорость изменения абсолютной величины силы натяжения, действующей на наш элемент, по мере его движения)

Теперь запишем выражения для ускорений этого элемента вдоль координатных осей:

$$\ddot{x}=\frac{\mathrm{dT}\cos \alpha}{\mathrm{dm}}=\frac{\mathrm{dT}\cos \alpha}{\rho v \mathrm{dt}},$$

$$\ddot{y}=\frac{\mathrm{dT}\sin \alpha}{\mathrm{dm}}-g=\frac{\mathrm{dT}\sin \alpha}{\rho v \mathrm{dt}}-g$$

С учётом $(1)$ перепишем эти выражения в виде
$\ddot{x}=g \sin \alpha \cos \alpha$,
$\ddot{y}=g \sin^2 \alpha-g=-g \cos^2 \alpha$
Поскольку $\dot{x}=v \cos \alpha$, $\dot{y}=v \sin \alpha$, имеем:
$\ddot{x}=\frac{g}{v^2}\dot{x}\dot{y}$, $\ddot{y}=-\frac{g}{v^2}\dot{x}^2$.
Обозначив $\gamma=\frac{g}{v^2}$, получим:

$$\ddot{x}=\gamma\dot{x}\dot{y}, \ddot{y}=-\gamma\dot{x}^2\eqno(2)$$

Обозначим $\dot{x}=\varphi$, $\dot{y}=\psi$, тогда $(2)$ перепишутся в виде

$$\dot{\varphi}=\gamma\varphi\psi, \eqno(3)$$ $$\dot{\psi}=-\gamma\varphi^2 \eqno(4)$$

Продифференцировав $(4)$, получим: $\ddot{\psi}=-2\gamma \varphi \dot{\varphi}$. Подставим сюда выражение для $\dot{\varphi}$ из $(3)$: $\ddot{\psi}=-2\gamma^2 \varphi^2 \psi$. Теперь выразим $\varphi^2$ из $(4)$:

$$\ddot{\psi}=2\gamma \psi \dot{\psi} \eqno(5)$$

Пусть $p=\frac{\mathrm{d\psi}}{\mathrm{dt}}$. Тогда $\ddot{\psi}=p\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{d\psi}}$, $(5)$ приобретает вид $p\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{d\psi}}=2\gamma \psi p$.
Таким образом, $\dot{\psi}=0$(некто тянет цепь вверх с постоянной скоростью ), либо

$$\dot{\psi}=\gamma \psi^2+C \eqno(6)$$

Поскольку $\psi=\dot{y}$, то при $\psi=0$ $\dot{\psi}=-g$, так как в верхней точке траектории на наш элемент в вертикальном направлении действует лишь сила тяжести. Таким образом,

$$\dot{\psi}=\gamma \psi^2-g \eqno(7)$$

Вспомнив, что $\gamma=\frac{g}{v^2}$, интегрируем $(7)$ в виде:

$$\frac{v}{2}\ln \frac{v-\psi}{v+\psi}=gt+\frac{C}{2}\eqno(7')$$

($\psi<v$,что позволяет нам избавиться от модуля под логарифмом).
Поскольку $\psi=v_y$, запишем

$$v_y=v\frac{1-e^\frac{2gt+C}{v}}{1+e^\frac{2gt+C}{v}} \eqno(8)$$

Определить константу $C$ предоставляется читателям , мои способности на этом исчерпаны. Скорость $v_x$ легко определить из соотношения $v_x^2+v_y^2=v^2$.
Она равна

$$v_x=2v\frac{e^\frac{2gt+C}{2v}}{1+e^\frac{2gt+C}{v}} \eqno(9)$$

Из $(8)$

$$\dot{y}=-v\th \frac{gt+C_1}{v} $$

($C_1=\frac{C}{2}$), откуда

$$y=C_2-\frac{v^2}{g}\ln \ch\frac{gt+C_1}{v} \eqno(10)$$

Аналогично из $(9)$

$$x=2 \frac{v^2}{g}\arctg \th \frac{gt+C_1}{v}+C_3 \eqno(11)$$

-- Пн апр 27, 2015 13:15:37 --

Кстати, константу $C(C_1)$ можно обратить в $0$, если в качестве момента времени $t=0$ принять момент достижения нашим элементом верхней точки траектории.
Ах, да. Само уравнение траектории:

$$y=y_{\max}+\frac{v^2}{2g}\ln(1-\tg^2\frac{gx}{2v^2})$$

[Oleg Zubelevich]

Sender в сообщении #1008452 писал(а):

Ах, да. Само уравнение траектории:

$$y=y_{\max}+\frac{v^2}{2g}\ln(1-\tg^2\frac{gx}{2v^2})$$

здесь ответ другой: http://arxiv.org/pdf/1310.4056.pdf ф-ла (0.13)

[Sender]

Да, похоже, я упустил из виду нормальную компоненту силы натяжения, возникающую из-за изменения направления последней.

-- Пн апр 27, 2015 20:16:45 --

Постараюсь исправиться. Допустим, мы имеем дело с установившимся режимом, когда цепь движется вдоль некоторой фиксированной плоской кривой с постоянной скоростью $v$. Пусть уравнение этой кривой имеет вид $y=y(x)$, тогда тангенс угла наклона касательной к этой кривой

$$\tg \alpha=\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} } \eqno{(1)}$$

Рассмотрим силы, действующие на движущийся элемент цепи длиной, равной расстоянию, проходимому цепью за время $\mathrm{dt}$, находящийся в точке $(x,y)$. Его масса равна $\mathrm{dm}=\rho v \mathrm{dt}$, где $\rho$ - погонная масса цепи. На него с двух сторон действуют силы натяжения $\vec{T}$ и $\vec{T}+\vec{\mathrm{dT}}$, а также сила тяжести $\vec{g}\mathrm{dm}$. Поскольку его скорость неизменна по модулю, проекция суммарной силы на касательную к траектории равна нулю:
$\mathrm{dT}=g \sin \alpha \mathrm{dm}$,

$$\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}=\rho v g \sin \alpha \eqno{(2)}$$

(скорость изменения абсолютной величины силы натяжения, действующей на наш элемент, по мере его движения)

Теперь запишем выражения для ускорений этого элемента вдоль координатных осей:

$$\ddot{x}=\frac{\mathrm{dT}\cos \alpha-T \sin \alpha\mathrm{d\alpha}}{\mathrm{dm}}=\frac{\mathrm{dT}\cos \alpha-T \sin \alpha\mathrm{d\alpha}}{\rho v \mathrm{dt}},\eqno{(3)}$$

$$\ddot{y}=\frac{\mathrm{dT}\sin \alpha+T\cos \alpha \mathrm{d\alpha}}{\mathrm{dm}}-g=\frac{\mathrm{dT}\sin \alpha+T\cos \alpha \mathrm{d\alpha}}{\rho v \mathrm{dt}}-g\eqno{(4)}$$

Что дальше делать со всем этим добром, непонятно. Видимо, следует попытаться воспользоваться информацией, любезно предоставленной Oleg Zubelevich, о том, что траектория в действительности представляет собой цепную линию.
Впрочем, $(3)$ и $(4)$ тривиально интегрируются:

$$\dot{x}=\frac{T \cos \alpha}{\rho v}+C_1, \eqno{(5)} $$

$$\dot{y}=\frac{T \sin\alpha}{\rho v}-gt+C_2 \eqno{(6)}$$

Если за момент времени $t=0$ принять момент прохождения элементом высшей точки траектории, то $C_2=0$. Тогда из $(5)$ и $(6)$ следует:

$$\frac{\dot{y}+gt}{\dot{x}-C_1}=\tg \alpha=\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} }=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$$

$$\dot{y}=-\frac{gt}{C_1}\dot{x}$$

С учётом того, что $\dot{x}^2+\dot{y}^2=v^2$,

$$\dot{x}=\frac{v}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{C_1^2}}}, \eqno{(7)}$$

$$\dot{y}=-\frac{vgt}{C_1\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{C_1^2}}} \eqno{(8)}$$

Отсюда

$$x=\frac{C_1v}{g}\operatorname{arsh} {\frac{gt}{C_1}}, \eqno{(9)}$$

(примем, что при $t=0$ $x=0$)

$$y=y_0-\frac{C_1v}{g}\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{C_1^2}}\eqno{(10)}$$

Таким образом,

$$y=y_0-\frac{C_1v}{g}\ch{\frac{gx}{C_1v}}\eqno{(11)}$$

Параметр $C_1$ можно найти, например, из $(5)$, зная натяжение в верхней точке траектории. В свою очередь, натяжение в нижней части траектории - это сила, придающая импульс, соответствующий скорости $v$, вытягиваемым из кучи звеньям цепи.

[GraNiNi]

Нашел похожую задачу.
"Длинная тонкая цепочка перекинута через блок так, что ее правая часть свисает до пола, а левая лежит, свернувшись клубком, на уступе высотой Н. Цепочку отпускают, и она приходит в движение. Найдите установившуюся скорость движения цепочки. Блок идеальный, цепочка неупругая."

Установившаяся скорость равна: $\ v=\sqrt{{gH}}\quad $

Так как трения в блоке нет, то по мере увеличения высоты $H$, скорость будет неограниченно расти, конечно пока не вмешается сопротивление атмосферы.

Реальная скорость, при высоте равной 1,5 метра, будет 3,8 м/c, что похоже на реальность в видео.
При такой скорости, за счет центробежной силы, верхняя петля на блоке уже вряд ли удержится и поднимется вверх.

[parton aka]

GraNiNi в сообщении #1008707 писал(а):

Нашел похожую задачу.....При такой скорости, за счет центробежной силы, верхняя петля на блоке уже вряд ли удержится и поднимется вверх.

Не поднимется. Внимательнее посмотрите ролик в стартовом посте - там есть(ближе к концу видео) "эксперимент с неупругими звеньями(шариками на веревочках)". :)

[GraNiNi]

parton aka в сообщении #1008709 писал(а):

"эксперимент с неупругими звеньями(шариками на веревочках)

Видел его.
Там не была набрана нужная скорость.

Вообще, время разгона для выхода на стационарную скорость зависит от погонной плотности цепи.
Если шарики раздвинуть друг от друга в 5 раз, то упадет погонная плотность тоже в 5 раз (почти) и время разгона возрастет пропорционально, причем стационарная скорость должна быть тоже больше (в 2,3 раза), для создания такой же центробежной силы.
В принципе, наверное, и простая веревка могла бы разогнаться до отрыва, но из-за низкой плотности это не реально практически, да и сопротивление атмосферы уже будет тормозить.

[parton aka]

(Оффтоп)

GraNiNi в сообщении #1008713 писал(а):

Там не была набрана нужная скорость.

Дык, нет необходимости ее набирать, условия эксперимента те же. Там еще и спагетти, взамен цепочки, участвуют и успешно "взлетают петлей". :)

[Kosterik]

я вот в теме вообще как наблюдатель (и, в какой-то мере, потребитель)
мне не очень интересен сам процесс поиска научной истины
но просто интересно - есть уже уравнение, из которого я могу поставить переменные (параметры шариков и вообще металлический цепочки,кстати сколько их?) и получить какой диаметр и высота подскока цепочки будет в данном конкретном (именно с этими значениями параметров) случае?

[GraNiNi]

parton aka в сообщении #1008718 писал(а):

Дык, нет необходимости ее набирать, условия эксперимента те же.

В том то и дело, что длина та же, а нужно в 5 раз длиннее и высоту падения тоже увеличить в разы.

То, что ограничение подвижности звеньев (жесткость) облегчают возникновение эффекта я уже высказывал ранее.
Но возможно, что эффект можно получить и на "редкой" цепочке, в противном случае это ограничение нужно подтверждать не на пальцах и видео, а математическими расчетами.

[parton aka]

GraNiNi в сообщении #1008721 писал(а):

Но возможно, что эффект можно получить и на "редкой" цепочке...

Возможно, но только в том случае, если из "редких шариков" в итоге образуется "упругая линия".

[Sender]

(Оффтоп)

На четвертые сутки Орлиный Глаз заметил, что у сарая нет одной стены

Кажется, наконец начинаю улавливать причину возникновения загадочной силы $\Overline F_D$ из http://dxdy.ru/post991227.html#p991227, которая, собственно, и держит всю конструкцию в воздухе.
Просто-напросто звенья цепи, падая в кучку, уносят с собой импульс, тем самым уменьшая общий импульс свисающей части цепочки и ослабляя её натяжение. Кстати, поскольку в модели, рассмотренной Oleg Zubelevich-ем, силы $\Overline F_A$ и $\Overline F_D$ в случае стационарного движения равны по модулю, но противоположны по направлению, они в точности уравновешивают друг друга, тогда сила тяжести, действующая на петлю останется нескомпенсированной, что делает стационарное движение невозможным. Траектория в виде цепной линии принципиально отличается тем, что на разных высотах силы $\Overline F_A$ и $\Overline F_D$ будут хоть и одинаковы по модулю, но не будут коллинеарными. Разница их вертикальных составляющих и позволит удержать стационарную петлю в воздухе. Надо будет попробовать на досуге записать всё это формально.

[GraNiNi]

Sender в сообщении #1008787 писал(а):

Просто-напросто звенья цепи, падая в кучку, уносят с собой импульс, тем самым уменьшая общий импульс свисающей части цепочки и ослабляя её натяжение.

Но выше Oleg Zubelevich приводил график, на котором петля образуется при падении в пропасть, то есть, еще не достигнув дна.

-- Вт апр 28, 2015 11:09:45 --

parton aka в сообщении #1008730 писал(а):

Возможно, но только в том случае, если из "редких шариков" в итоге образуется "упругая линия".

Любая реальная (не идеальная) нить обладает какой-то упругостью, поэтому это и возможно.

[Sender]

GraNiNi в сообщении #1008799 писал(а):

Но выше Oleg Zubelevich приводил график, на котором петля образуется при падении в пропасть, то есть, еще не достигнув дна.

Я так понимаю, он швырнул цепь вверх с большой скоростью, что и обусловило возникновение петли, но со временем она исчезла, что отчётливо видно на графике в том же сообщении.

[GraNiNi]

Sender в сообщении #1008802 писал(а):

Я так понимаю, он швырнул цепь вверх с большой скоростью

Это вряд ли, скорей всего разгон цепи естественный, и здесь главное сам факт возникновения петли еще до достижения дна, когда снизу никакие силы ее не поддерживают.