Найти векторный потенциал

[g______d]

Munin в сообщении #1008665 писал(а):

И?..

Ну как, если сингулярный гомологии тривиальны, то тогда когомологии де Рама тривиальны, и любая замкнутая форма является точной.

[Munin]

Щас. Мне нужно время осознать, каким дураком я был, и насколько долго.

-- 27.04.2015 22:57:11 --

Так.

Симплициальные - значит, склеенные из треугольников-тетраэдров (симплексов).
Сингулярные - значит, отображения этих симплексов на топологическое пространство.
Де Рама - это всякие дифференцируемые многообразия и дифференцируемые же формы на них.

Теорема Стокса (теорема де Рама): де Рама "ко-" $\cong$ сингулярные "ко-".
Не хватает звена: сингулярные "ко-" $\cong$ сингулярным "без ко-".
Очевидно: сингулярные "без ко-" $\cong$ симплициальные "без ко-".
Очевидно: симплициальные "без ко-" означают "количество дырок" (числа Бетти).

-- 27.04.2015 22:58:58 --

Или теорема Стокса как раз гласит это "не хватающее звено"? Я запутался, распутайте меня, пожалуйста!

[g______d]

Munin в сообщении #1008676 писал(а):

Не хватает звена: сингулярные "ко-" $\cong$ сингулярным "без ко-".

Я уже писал, что над $\mathbb R$ это одно и то же, и размерность называется числом Бетти. Можете считать, что это двойственные конечномерные векторные пространства (хотя это не совсем так).

-- Пн, 27 апр 2015 13:08:21 --

Munin в сообщении #1008676 писал(а):

Теорема Стокса (теорема де Рама): де Рама "ко-" $\cong$ сингулярные "ко-".

Теорема Стокса и теорема де Рама -- совершенно разные вещи. Теорема де Рама намного сложнее.

Теорема Стокса, по сути, означает, что соответствие, которое паре цепь-форма $(C,\omega)$ зависит только от гомологического класса цепи и когомологического класса формы. Т. е. не поменяется, если мы к цепи добавим границу чего-нибудь или к форме добавим кограницу (точную форму). Иначе говоря, корректно определено на $H_{p,\,\,\mathrm{simplicial}}\times H^p_{\mathrm{DR}}$.

Теорема де Рама означает, что это соответствие невырождено, т. е. цикл является границей тогда и только тогда, когда интеграл по нему от любой замкнутой формы равен нулю. Иначе говоря, симплициальные гомологии и когомологии де Рама являются двойственными относительно билинейной формы "интеграл".

[Munin]

g______d в сообщении #1008680 писал(а):

Я уже писал, что над $\mathbb R$ это одно и то же, и размерность называется числом Бетти.

Хорошо, но как называется этот факт? И почему вдруг в нём играет роль $\mathbb{R}$?

g______d в сообщении #1008680 писал(а):

Теорема Стокса и теорема де Рама -- совершенно разные вещи.

Значит, в англовики лажа. http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology#De_Rham.27s_theorem
Или я читать не умею.

[g______d]

Munin в сообщении #1008686 писал(а):

Хорошо, но как называется этот факт? И почему вдруг в нём играет роль $\mathbb{R}$?

Формула универсальных коэффициентов (Universal Coefficient Theorem).

-- Пн, 27 апр 2015 13:16:30 --

Munin в сообщении #1008686 писал(а):

Или я читать не умею.

Не умеете. Теорема Стокса говорит, что имеется некоторый гомоморфизм между двумя объектами. Теорема де Рама говорит, что он на самом деле является изоморфизмом.

[Munin]

Скажем так. Я их всё время представлял себе двойственными "по построению". Так что, даже не могу вообразить, как они могли бы быть гомоморфны, но не изоморфны.

За "недостающее звено" спасибо!

-- 27.04.2015 23:32:34 --

Нашёл почти то, что надо:
http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_coefficient_theorem#Corollaries
- но такое torsion part of $H_i$? — Не надо, разобрался, это подгруппа, состоящая из элементов конечного порядка.

[g______d]

Munin в сообщении #1008691 писал(а):

Скажем так. Я их всё время представлял себе двойственными "по построению". Так что, даже не могу вообразить, как они могли бы быть гомоморфны, но не изоморфны.

По построению есть естественная билинейная форма между ними, это да. Но почему она, например, не является тождественным нулём?

[Munin]

g______d в сообщении #1008693 писал(а):

По построению есть естественная билинейная форма между ними, это да. Но почему она, например, не является тождественным нулём?

Ну как почему? Потому что коцепи вообще строятся так, чтобы быть линейными функционалами на цепях, со значениями в поле. (Или в кольце, где там, не обращаю внимания уже.)

[g______d]

Munin в сообщении #1008696 писал(а):

Потому что коцепи вообще строятся так, чтобы быть линейными функционалами на цепях, со значениями в поле.

Это симплициальные коцепи. Они, действительно, построены так, что симплициальные гомологии и симплициальные когомологии -- это двойственные пространства. Т. е. имеется взаимно однозначное соответствие между пространством симплициальных когомологий и пространством всех функционалов на пространстве симплициальных гомологий.

А есть ещё коцепи де Рама (они же дифференциальные формы). Они тоже являются функционалами на цепях, потому что формы можно интегрировать по цепям. С помощью теоремы Стокса они опускаются на уровень "элементы пространства когомологий де Рама являются функционалами над пространством симплициальных гомологий над $\mathbb R$". Т. е. они дают какой-то "запас" функционалов. Но почему так получаются все функционалы?

[svv]

Munin в сообщении #1008602 писал(а):

Осталось перевести $\alpha'=(1-\cos\theta)\,d\varphi$ обратно в векторный и декартов вид

Обозначения примерно как у Шутца. Ваша форма-«монополист»
$\tilde\alpha=(1-\cos\theta)\,\tilde d\varphi$
Здесь $\tilde d\varphi$ — это базисный ковектор $\tilde\omega^\varphi$, а коэффициент перед ним — единственная ненулевая компонента $\alpha_\varphi$.

С помощью метрического тензора найдём компоненты соответствующего вектора $\bar a=a^i\bar e_i$:
$a^i=g^{ik}\alpha_k$
Единственной ненулевой компонентой будет
$a^\varphi=g^{\varphi\varphi}\alpha_\varphi=\frac {1-\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}=\frac{r-z}{r\rho^2}$
Удобные переменные $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ и $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ будем использовать невзирая на систему координат.

Перейдем к декартовым компонентам.
$a^x=\frac{\partial x}{\partial\varphi}\;a^\varphi=-\rho\sin\varphi\;a^\varphi=-y\;\frac{r-z}{r\rho^2}$
$a^y=\frac{\partial y}{\partial\varphi}\;a^\varphi=+\rho\cos\varphi\;a^\varphi=\;\;x\;\frac{r-z}{r\rho^2}$
$\bar a=\frac{(r-z)(-y\bar e_x+x\bar e_y)}{r\rho^2}$

Полученный вектор отличается от Red_Herringовского
$\bar{A}= \frac{z(y\bar e_x -x\bar e_y)}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{(-z)(-y\bar e_x+x\bar e_y)}{r\rho^2}$
на добавку
$\bar p=\frac{-y\bar e_x+x\bar e_y}{\rho^2}=\frac{\bar i_\varphi}{\rho}$
В последней формуле $\bar i_\varphi$ — единичный («физический») орт в цилиндрической системе координат. Этот вид удобен для проверки (в цилиндрической же системе) того, что $\operatorname{rot}\bar p=0$. Последнее и так очевидно из того, что вектор $\bar p$ возник из добавления к моей форме полного дифференциала $\tilde d\varphi$, или из того, что $\bar p$ — градиент скалярной функции $\varphi$ (локально однозначной).

Итак, можно просто прибавить к вектору Red_Herringа градиент $\varphi$.

[Munin]

g______d в сообщении #1008699 писал(а):

Но почему так получаются все функционалы?

О-о-о... Вопрос, чувствую, с подвохом, ведущий куда-то в обобщённые функции. И/или в теорию меры.

Допустим, не все функционалы. Но "достаточный запас", чтобы не заботиться хотя бы о случае тождественного нуля.

-- 28.04.2015 02:14:05 --

svv
Спасибо! Надо мне в этом натренироваться.

[g______d]

Munin в сообщении #1008740 писал(а):

О-о-о... Вопрос, чувствую, с подвохом, ведущий куда-то в обобщённые функции. И/или в теорию меры.

Нет, при чём здесь обобщённые функции. Тут всего лишь речь о функционалах на конечномерном линейном пространстве. Вот у Вас есть 2 конечномерных векторных пространства: $H_p$ и $H^p$, и есть билинейное отображение $\mathcal I\colon H_p\times H^p\to \mathbb R$. Если $H_p$ и $H^p$ -- соответственно симплициальные гомологии и когомологии де Рама, то теорема Стокса ничего кроме этого не говорит. Только то, что интеграл является корректно определённым билинейным отображением.

Спрашивается, что нужно сказать про это $\mathcal I$, чтобы утверждать, что $\dim H_p=\dim H^p$?

[Munin]

g______d в сообщении #1008680 писал(а):

Теорема де Рама означает, что это соответствие невырождено, т. е. цикл является границей тогда и только тогда, когда интеграл по нему от любой замкнутой формы равен нулю. Иначе говоря, симплициальные гомологии и когомологии де Рама являются двойственными относительно билинейной формы "интеграл".

Так, а как это доказывается?

[g______d]

Munin в сообщении #1012837 писал(а):

Так, а как это доказывается?

Ботт, Ту, "Дифференциальные формы в алгебраической топологии", теорема 8.9 (глава 2, параграф 8), а также теорема 15.8 (глава 3, параграф 15).

-- Сб, 09 май 2015 14:23:32 --

Но начать всё равно лучше с предисловия.