Осталось перевести

обратно в векторный и декартов вид
Обозначения примерно как у Шутца. Ваша форма-«монополист»

Здесь

— это базисный ковектор

, а коэффициент перед ним — единственная ненулевая компонента

.
С помощью метрического тензора найдём компоненты соответствующего вектора

:

Единственной ненулевой компонентой будет

Удобные переменные

и

будем использовать невзирая на систему координат.
Перейдем к декартовым компонентам.



Полученный вектор отличается от
Red_Herringовского

на добавку

В последней формуле

— единичный («физический») орт в цилиндрической системе координат. Этот вид удобен для проверки (в цилиндрической же системе) того, что

. Последнее и так очевидно из того, что вектор

возник из добавления к моей форме полного дифференциала

, или из того, что

— градиент скалярной функции

(локально однозначной).
Итак, можно просто прибавить к вектору
Red_Herringа градиент

.