Транспонировать таблицу Кэли

[kp9r4d]

Kras в сообщении #1008229 писал(а):

Значит из одного лишь свойства
...
нельзя вывести, что функция является изоморфизмом?

Какая функция?

[arseniiv]

(Kras, вы же сейчас доказываете, что если $(G,*),(G',*')$ — группы и $f\colon G\to G'$ — функция такая, что $f(a*b) = f(b)*'f(a)$, то $f$ — изоморфизм?)

Kras в сообщении #1008299 писал(а):

Разве всякая биекция обязана быть изоморфизмом?

Разумеется, не всякая, а биекция-гомоморфизм, но вы же можете показать, что композиция гомоморфизмов — гомоморфизм? (И композиция биекций — биекция?) Тут у нас рядом как раз биекция-гомоморфизм $x\mapsto x^{-1}$ пробегала (и не одна). Она так и просится с кем-то в композицию!

[patzer2097]

Kras в сообщении #1008299 писал(а):

Разве всякая биекция обязана быть изоморфизмом?

Да, безусловно. И вообще, любое отображение обязано быть изоморфизмом.

[Kras]

arseniiv в сообщении #1008313 писал(а):

(Kras, вы же сейчас доказываете, что если $(G,*),(G',*')$ — группы и $f\colon G\to G'$ — функция такая, что $f(a*b) = f(b)*'f(a)$, то $f$ — изоморфизм?)

Да, про функцию известно, что $f(a*b) = f(b)*'f(a)$. Надо доказать, что $f$ — изоморфизм.

arseniiv в сообщении #1008313 писал(а):

(И композиция биекций — биекция?) Тут у нас рядом как раз биекция-гомоморфизм $x\mapsto x^{-1}$ пробегала (и не одна). Она так и просится с кем-то в композицию!

Да, например обратная функция $x^{-1}\mapsto x$ - тоже биекция. Тогда композиция этих функций (тоже биекция) отображает каждый элемент в себя и уже не обладает нужным свойством (так как группа неабелева).

[kp9r4d]

Kras в сообщении #1008326 писал(а):

Да, про функцию известно, что $f(a*b) = f(b)*'f(a)$. Надо доказать, что $f$ — изоморфизм.

Это у вас вряд ли выйдет.

[arseniiv]

kp9r4d в сообщении #1008331 писал(а):

Это у вас вряд ли выйдет.

(Kras сюда не смотрит.)

Почему? $f(a*b)^{-1} = (f(b) *' f(a))^{-1} = f(a)^{-1} *' f(b)^{-1}$. Итого, $f' = x\mapsto f(x)^{-1}$ — гомоморфизм. Биекцией он будет по условию биективности $f$. Берём $f'' = x\mapsto f'(x)^{-1}$. С одной стороны, это биекция и гомоморфизм, т. е. изоморфизм. С другой стороны, это $f$.

Ой, или я биективность сам выдумал? Похоже…

Kras, $f$ — биекция или не обязательно? Нужна биекция.

Kras в сообщении #1008326 писал(а):

Тогда композиция этих функций (тоже биекция) отображает каждый элемент в себя и уже не обладает нужным свойством (так как группа неабелева).

Не та композиция. У меня в сообщении нужная функция фигурирует. И постойте вы сразу проверять свойство. Повертите этим промежуточным результатом так и сяк.

(Оффтоп)

Kras в сообщении #1008326 писал(а):

Да, например обратная функция $x^{-1}\mapsto x$

Вот так: $\xi(t)\mapsto t$ — писать не стоит, даже если вы уверены, что $\xi$ обратима — тогда всё-таки лучше так и написать, что $x\mapsto\xi^{-1}(x)$. Слева стоит имя/имена аргумента/аргументов, это запись функции, которая на аргументе слева имеет значение выражения справа, но называть которую явно и писать много буков не хочется по каким-то соображениям.

На всякий случай, если много аргументов, пишется как-то так: $(u,v,w)\mapsto uv+w$.

-- Пн апр 27, 2015 00:35:20 --

Ой, чего-то я какую-то ерунду написал, кажется. Пора отдыхать и не путать людей…

[Kras]

Обязательно биекция.
arseniiv
Не смог вас понять. Что за нужная функция фигурирует? Что такое промежуточный результат?

-- 27.04.2015, 00:52 --

Тут мне не нравится утверждение $f(a*b) = f(b)*'f(a)$. Мысль понятна, но записана она кажется неверно. Надо вернуться к единственному примеру, который удался

Kras в сообщении #1008000 писал(а):

Действительно, $(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}=a^{-1}\cdot b^{-1}$.

То же самое будет в общем виде выглядеть как
$\varphi (a\circ b)=\varphi (b)\circ\varphi (a)=\varphi (a)\cdot\varphi (b)$
Такая функция несомненно будет изоморфизмом. Но как прийти к этому равенству зная только, что $b\circ a=a\cdot b$ ?

[arseniiv]

Нет, нет, вообще я в этой теме ерунду написал; слушайте kp9r4d. Вот будет абелева группа, там и будет всё хорошо, а так это только изоморфизм с группой с операцией $*'^{op}, x*'^{op}y = y*'x$.

Чёрт, как можно такую путаницу было развести. С чего я вообще решил, что $x\mapsto x^{-1}$ — автоморфизм, когда это антиавтоморфизм.

Надеюсь, это не привело к катастрофе.

[bot]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1008210 писал(а):

Вообще в этом минус форума перед Q&A сайтами

А что такое Q&A сайт?

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1008403 писал(а):

А что такое Q&A сайт?

Точно я не знаю, но легко предположить, что "questions & answers".
Зато плюс форума - квалифицированные участники! Не знаю, может быть, есть и приличные Q&A-сайты, но чем в тех же "Ответах mail.ru" вопросы по точным наукам задавать - лучше сразу убиться веником. Видел я, что там отвечают.

[Munin]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1008404 писал(а):

Зато плюс форума - квалифицированные участники! Не знаю, может быть, есть и приличные Q&A-сайты, но чем в тех же "Ответах mail.ru" вопросы по точным наукам задавать - лучше сразу убиться веником. Видел я, что там отвечают.

Познакомьтесь с линейкой сайтов StackExchange. Там очень квалифицированные участники.

[bot]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1008404 писал(а):

Точно я не знаю, но легко предположить, что "questions & answers".

Предположить можно, но под это предположение попадут практически все форумы, в частности и этот, особенно разделы "помогите решить". А упомянутый StackExchange в чистую подходит.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1008469 писал(а):

Под это попадают практически все форумы и этот в большой мере, особенно разделы "помогите решить". А упомянутый StackExchange в чистую подходит.

Я понимал math.stackexchange и mathoverflow. Может быть понимал и неправильно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Прочитал тогда «Q&A» как StackExchange и подобные, а всякие ответы@mail.ru даже в голову не приходили.