Магнитное поле вне оси кругового тока

[paladin17]

Здравствуйте.
Пытался посчитать индукцию поля вне оси кругового витка с током и получил какую-то расходимость. Прошу помочь.

Условие: берём круговой виток радиуса $r$ с током $I$, пытаемся посчитать поле в точке в плоскости витка, но отстоящей от его центра (где размещается начало координат) на расстояние $b$ ($b<r$).
Тогда по закону Био-Савара искомое поле может быть найдено в виде интеграла по витку
$\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \int \frac{\vec{dl} \times \vec{r'}}{r'^2}$, где $\vec{dl}$ - единичный вектор в направлении тока, $\vec{r'}$ - вектор в направлении от элемента тока к точке, в которой ищем поле.
Числитель численно равен синусу угла между $\vec{dl}$ и $\vec{r'}$, или, что то же самое (по формулам приведения) косинусу угла между радиус-вектором элемента тока и вектором $\vec{r'}$. Тот же косинус (используя теоремы синусов и косинусов) можно выразить как $\frac{r-b \cos \alpha}{\sqrt{r^2+b^2-2rb \cos \alpha}}$, где $\alpha$ - угол между осью, на которой лежит наша точка, и элементом тока. При подстановке всего этого хозяйства в интеграл и выражении знаменателя через ту же теорему косинусов, получим (я константы для краткости опущу):
$\int \frac{r-b \cos \alpha}{r^2+b^2-2rb \cos \alpha} d\alpha$.
Руками я такой интеграл считать не пытался (хотя предельный случай $b=0$ даёт известный правильный результат), но вот Wolfram, например, выдаёт ответ вида $\frac{2\arctg(\frac{(b-r)\ctg\frac{\alpha}{2}}{b+r})+\alpha}{2r}$.

Нетрудно видеть, что котангенс в числителе даёт неопределённость на обоих пределах ($\alpha=2 \pi$ и $\alpha = 0$). Вот я не знаю, что бы это значило. Вроде синус (который в законе Б.-С.) в этом случае даёт единицу, и по идее наоборот всё очень просто должно быть, и никаких неопределённостей тут (с физической точки зрения) возникнуть не должно было бы. Значит, ошибка где-то в математике. Может, интеграл просто неправильно посчитан? Или где-то какая-то другая ошибка закралась...

[mihiv]

А чему равен $\lim \limits _{x\to \pm \infty }\arctg x $ ?

[paladin17]

mihiv в сообщении #1008325 писал(а):

А чему равен $\lim \limits _{x\to \pm \infty }\arctg x $ ?

Я так полагаю, что $\pm \frac{\pi}{2}$, плюс период.
Намекаете на то, что всё в порядке, и просто надо принять значение арктангенса $\pm \frac{\pi}{2}$?

[mihiv]

По крайней мере никакой неопределенности здесь нет.

[Munin]

А вот у меня он выдаёт другую формулу, правда, интеграл я вбил в немного более общем виде:

$$\int\dfrac{a-b\cos x}{c-d\cos x}dx=\dfrac{\dfrac{2(bc-ad)\operatorname{arth}\left(\dfrac{(c+d)\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{d^2-c^2}}\right)}{\sqrt{d^2-c^2}}+bx}{d}+\mathrm{const}.$$

[ewert]

paladin17 в сообщении #1008301 писал(а):

$\int \frac{r-b \cos \alpha}{r^2+b^2-2rb \cos \alpha} d\alpha$.
Руками я такой интеграл считать не пытался (хотя предельный случай $b=0$ даёт известный правильный результат)

Это, конечно, здорово; но есть ведь и другой не менее естественный предельный случай -- когда $b\approx r$. В котором интеграл должен вести себя, очевидно, как $\frac{\rm const}{r-b}$.

А он отказывается делать это не просто напрочь, а напрочь от слова "совсем". Поскольку подынтегральная функция достигает максимума, очевидно, при $\alpha=0$, и равен этот максимум как раз $\frac{1}{r-b}$. Но ведь это только максимум; окрестность же, в которой эта функция не слишком отличается от своего максимума -- мала. Фактически этот интеграл просто ограничен.

Считать же его надо, разумеется, не через производные, а через вычеты. Он ведь всё-таки определённый.

[Munin]

ewert в сообщении #1008679 писал(а):

А он отказывается делать это не просто напрочь, а напрочь от слова "совсем". Поскольку подынтегральная функция достигает максимума, очевидно, при $\alpha=0$, и равен этот максимум как раз $\frac{1}{r-b}$. Но ведь это только максимум; окрестность же, в которой эта функция не слишком отличается от своего максимума -- мала. Фактически этот интеграл просто ограничен.

Это ещё ничего не значит. Надо исследовать. А до исследования нельзя заявлять "отказывается это делать". Например, окрестность может вести себя как константа - та самая константа в числителе.

[ewert]

Munin в сообщении #1008685 писал(а):

Например, окрестность может вести себя как константа - та самая константа в числителе.

Не понял. Какая самая константа в числителе?...

Можно разве что предположить: Вы имели в виду, что радиус окрестности обратно пропорционален максимуму. Ну так ровно так оно и есть; и это ровно и сводится к тому, что интеграл ограничен.

(при тупой подстановке $b=r$ в подынтегральную функцию получается тупо $\frac1{2r}$ независимо от альфы, если та ненулевая; ну а в окрестности нуля вытягивается дополнительно некая дельтообразная последовательность)

Да, на всякий случай: правильность применения самой Био-Савары-Лапласы я не проверял за леностью; мне какой интеграл подсунули, на тот я и гляжу. С учётом общих соображений, конечно.

[mihiv]

Проверил расчетную формулу, у меня получилось. что нужно найти:

$$\int \limits _0^{2\pi }\dfrac{r(r-b \cos \alpha )}{(r^2+b^2-2rb \cos \alpha)^{\frac 32}} d\alpha $$

.