Транспонировать таблицу Кэли

[Red_Herring]

Есть группа. В ней каждый элемент обратим. Рассмотрим $t(a):=a^{-1}$. Тогда т.к. $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ мы и имеем указанное св-во.
Можно сказать и по другому $a*b:=b\cdot a$

[Aritaborian]

А я вот (не имея на то права) настаиваю на том, чтобы Kras без запинки и не подглядывая в учебники (хотя тут уж не проверишь) дал определения
а) предела последовательности;
б) матрицы;
в) произведения матриц;
г) обратной матрицы;
д) функции;
е) группы.
Иначе не в коня корм, ей-богу.

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1008195 писал(а):

Можно, конечно, все это сформулировать и доказать в матанализе применительно к $\mathbb{R}$, а потом заново формулировать и доказывать для общего случая. Только зачем?

А чтоб такое "знание" математики избежать

И.Ильф, Е.Петров в «Разговоры за чайным столом» писал(а):

Кто была Екатерина Вторая?
- Продукт.
- Как продукт?
- Я сейчас вспомню. Мы прорабатывали... Ага! Продукт эпохи нарастающего
влияния торгового капита...
- Ты скажи, кем она была? Должность какую занимала?
- Этого мы не прорабатывали.

[kp9r4d]

Red_Herring в сообщении #1008189 писал(а):

А речь идет о чем? О группе симметрий правильного треугольника. Но ведь эта группа состоит из трех поворотов (включая на $0$ градусов) и трех отражений и реализуется как матричная, причем транспонирование и обращение здесь совпадают. Вообще многие группы и др. алгебраические структуры реализуются (представляются) как матричные и потому хотя общие понятия и кажутся более фундаментальными без знания матриц не обойтись.

А, ну так-то. Но вообще методически довольно странно при таких простых базовых вопросах обращаться к линейному представлению группы.

Aritaborian в сообщении #1008192 писал(а):

А я уважаемого Виктора Яковлевича очень даже понял, но лень было писать то, что позже написал он. Программа математического образования не с потолка взята, и на хороших мехматах не просто так насилуют неокрепшие мозги первокурсников всеми этими пределами, перестановками и прочей фигнёй. Невозможно заниматься сколько-нибудь сложными вещами, не зная основ, не имея под собою твёрдой почвы.

Ну вот курс "Теорема Абеля в задачах и решениях" (который ТС, скорее всего и проходит), который читался не кем-нибудь, а самим Арнольдом, не предполагает знания матриц, так как читался вообще для СУНЦовых школьников, но вот группами там распоряжаются во всю.

Цитата:

Программа математического образования не с потолка взята, и на хороших мехматах не просто так насилуют неокрепшие мозги первокурсников всеми этими пределами, перестановками и прочей фигнёй

Это спорное очень утверждение, к слову. Но это уже оффтоп явно.

Kras, вам очень содержательно ответил patzer2097

[Aritaborian]

kp9r4d, если вы фанат идей Вербицкого, так и скажите, и я буду иметь это в виду ;-)

kp9r4d в сообщении #1008203 писал(а):

который ТС, скорее всего и проходит

«Проходит» здесь излишне сильное слово. Я бы сказал «бултыхается, пуская пузыри».

[kp9r4d]

Aritaborian в сообщении #1008205 писал(а):

kp9r4d, если вы фанат идей Вербицкого, так и скажите, и я буду иметь это в виду

Не буду ничего говорить, иметь в виду можете всё, что хотите.

Aritaborian в сообщении #1008205 писал(а):

«Проходит» здесь излишне сильное слово. Я бы сказал «бултыхается, пуская пузыри».

Как по мне - вполне нормальные вопросы об определениях / понятиях, с которыми встречаешься впервые.

(Оффтоп)

Вообще в этом минус форума перед Q&A сайтами, спросишь, почему две группы изоморфны: а тебя начнут поучать как тебе жить, какой ты дурак и вталдычивать как это плохо знать что такое группа перестановок треугольника и не уметь считать тройные интегралы в уме.

[arseniiv]

Я вот написал про эквивалентные таблицы умножения, а решительно ни один Kras никак это не комментировал. Интересно, почему. А между тем, связь и с вопросом, и с изоморфизмами прямая. (Или я действительно ерунду написал, и потому это не комментировал вообще никто?)

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1008210 писал(а):

Вообще в этом минус форума перед Q&A сайтами, спросишь, почему две группы изоморфны: а тебя начнут поучать как тебе жить, какой ты дурак и вталдычивать как это плохо знать что такое группа перестановок треугольника и не уметь считать тройные интегралы в уме.

По моим ощущениям, здесь, по сравнению с некоторыми другими форумами, стараются. (Ещё напрашивается дополнение, что раз человек спросил не на Q&A-сайте, то должен быть готов, но это как-то демагогично, так что я этого не писал.)

[Aritaborian]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1008210 писал(а):

Вообще в этом минус форума перед Q&A сайтами, спросишь, почему две группы изоморфны: а тебя начнут поучать как тебе жить, какой ты дурак и вталдычивать как это плохо знать что такое группа перестановок треугольника и не уметь считать тройные интегралы в уме.

Да, в некотором смысле это минус. Я участвую в техподдержке одного продукта и в последнее время заметил, что форумные баталии идут мне во вред: стал всё чаще говорить надменным менторским тоном, поучать, ехидничать, задавать наводящие вопросы вместо того, чтобы прямо отвечать на поставленные вопросы и решать задачи пользователей. Впрочем, форум на то и форум.

(Оффтоп)

Отвалиться, что ли, отсюда на пару месяцев? Помнится, разок такое проделывал.

[Kras]

Red_Herring в сообщении #1008197 писал(а):

Есть группа. В ней каждый элемент обратим. Рассмотрим $t(a):=a^{-1}$. Тогда т.к. $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

Кажется, это удалось ещё на первой странице (спасибо patzer2097), где и было доказано, что такая функция - изоморфизм. Почему вы уверены, что она единственная?

Red_Herring в сообщении #1008197 писал(а):

мы и имеем указанное св-во.

Вопрос глубже. Как доказать, что любая функция, обладающая указанным свойством - изоморфизм?

(Aritaborian)

Давайте попробуем.
д) Функция - это бинарное отношение, которое является:
1. Полным слева
2. Функциональным

e) Группа - это множество с заданной бинарной операцией, где выполнены следующие условия:
1. Замкнутость
2. Ассоциативность
3. Существование единичного элемента
4. Существование обратного элемента

Остальное не знаю.

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #1008203 писал(а):

Но вообще методически довольно странно при таких простых базовых вопросах обращаться к линейному представлению группы.

Вам нужно посчитать произведение. Например поворота и отражения. Можно подумать, поднапрячь геометрическую интуицию. А можно просто перемножить матрицы (и это сделает за Вас компьютер). И тот, и другой подходы имеют свои плюсы и минусы. Но желательно уметь делать и то, и другое.

[arseniiv]

Kras в сообщении #1008215 писал(а):

Как доказать, что любая функция, обладающая указанным свойством - изоморфизм?

Ну вот скомпозируйте теперь ту неизвестную функцию и упомянутую $x\mapsto x^{-1}$ — и всё перевернётся, и получится что-то знакомое.

[Red_Herring]

Kras в сообщении #1008215 писал(а):

очему вы уверены, что она единственная?

Она не единстванная. В этой группе есть эндоморфизмы: $T_b:a \mapsto b^{-1}ab$, где $b$ какой-то фиксированный элемент группы. И поскольку группа некоммутативна, эти эндоморфизмы нетривиальны.

Но единственность и не нужна: нужен хотя бы один изоморфизм.

[Kras]

Red_Herring
Спасибо огромное. Знаю, что достаточно одного изоморфизма. Но мысль всегда идёт дальше необходимого и достаточного, что поделать...

Значит из одного лишь свойства

Red_Herring в сообщении #1008197 писал(а):

$a*b:=b\cdot a$

нельзя вывести, что функция является изоморфизмом?

[Red_Herring]

Kras в сообщении #1008229 писал(а):

нельзя вывести, что функция является изоморфизмом?

Это изоморфизм поскольку "на" и "в" (т.е. отображение взаимно-однозначное)

[Kras]

Разве всякая биекция обязана быть изоморфизмом?