Найти рациональное решение эллиптического уравнения

[Коровьев]

Найти рациональные $x,y,z,(xy \ne 0)$, удовлетворяющие эллиптическому уравнению с рациональными коэффициентами

$$\[ z^2 = \left( {ax^3 + bx^2 y + cxy^2 + dy^3 } \right) + \left( {mx^2 + kxy + ny^2 } \right) \]$

[AlexSam]

нашел одно решение:

$$x=\frac{-n-m-k+1}{d+c+b+a},y=\frac{-n-m-k+1}{d+c+b+a},z=\frac{-n-m-k+1}{d+c+b+a}$$

[nnosipov]

Тогда уж искать решения, для которых $x=sz$, $y=tz$, где $s$, $t$ --- произвольные рациональные числа. Получится 2-параметрическое семейство решений.

А, так это будет рациональной параметризацией этой поверхности.

[AlexSam]

Нашлось параметрическое решение:

$$\[x=-\frac{p\,\left( n\,{t}^{2}+k\,p\,t+m\,{p}^{2}-1\right) }{d\,{t}^{3}+c\,p\,{t}^{2}+b\,{p}^{2}\,t+a\,{p}^{3}},y=-\frac{t\,\left( n\,{t}^{2}+k\,p\,t+m\,{p}^{2}-1\right) }{d\,{t}^{3}+c\,p\,{t}^{2}+b\,{p}^{2}\,t+a\,{p}^{3}},z=\frac{-n\,{t}^{2}-k\,p\,t-m\,{p}^{2}+1}{d\,{t}^{3}+c\,p\,{t}^{2}+b\,{p}^{2}\,t+a\,{p}^{3}}\]$$

[Коровьев]

Если воспользоваться методом, о котором я говорил здесь, то очень очень элементарно можно вывести ещё одно параметрическое решение.

$$\[ z^2 = \left( {ax^3 + bx^2 y + cxy^2 + dy^3 } \right) + \left( {mx^2 + kxy + ny^2 } \right) \]$

Пусть $z=px + qy$. ($p,q$ - переменные). Сгруппируем члены

$\[ \left( {ax + by + m - p^2 } \right)x^2 + \left( {cx + dy + n - q^2 } \right)y^2 + \left( {k - 2pq} \right)xy = 0 \]$
Приравняв выражения в скобках нулю, получим

$\[ \left\{ \begin{array}{l} k = 2pq \\ ax + by = p^2 - m \\ cx + dy = q^2 - n \\ \end{array} \right. \]$

При $ad - bc \ne 0$ сразу получаем параметрическое решение

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} 2pq = k \\ \\ x = \frac{{d\left( {p^2 - m} \right) - b\left( {q^2 - n} \right)}}{{ad - bc}} \\ \\ y = \frac{{a\left( {q^2 - n} \right) - c\left( {p^2 - m} \right)}}{{ad - bc}} \\ \\ z = px + qy \\ \end{array} \right. \] $

[AlexSam]

Ваше решение, конечно, проще. Я делал подстановку:

$$\[x=\frac{w_{2}}{x+w_{1}},y=\frac{s_{2}}{x+s_{1}},z=\frac{r_{4}}{{x}^{3}+r_{1}\,{x}^{2}+r_{2}\,x+r_{3}}\]$

[nnosipov]

Если на данной поверхности хочется найти именно рациональную кривую (т.е. частное решение), то можно просто положить $z=0$ и вспомнить про рациональную параметризацию декартова листа (например). Но рационализировать всю поверхность вида $C(x,y,z)=Q(x,y,z)$ ($C$ и $Q$ --- кубическая и квадратичная форма соответственно) тоже очень легко, здесь не нужны какие-то искусственные подстановки.

Вот, кстати, пример школьной задачки на эту тему: найти бесконечно много троек $(x,y,z)$ целых чисел, удовлетворяющих уравнению $x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2$.

AlexSam в сообщении #1008118 писал(а):

Я делал подстановку:

$$\[x=\frac{w_{2}}{x+w_{1}},y=\frac{s_{2}}{x+s_{1}},z=\frac{r_{4}}{{x}^{3}+r_{1}\,{x}^{2}+r_{2}\,x+r_{3}}\]$

Очень искусственно и непонятно. Те формулы, которые Вы привели выше, получаются устно. В общем виде они выглядят так:

$$ z=\frac{Q(s,t,1)}{C(s,t,1)}, \quad x=\frac{sQ(s,t,1)}{C(s,t,1)}, \quad y=\frac{tQ(s,t,1)}{C(s,t,1)}. $$