2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Плотность случайной величины
Сообщение23.04.2015, 20:43 


21/02/15
27
Москва
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.

Есть набор случайных величин \xi_{1}, \xi_{2}, ... , \xi_{n} с показательным распределением, т.е. {\rho}_{\xi_{i}}(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \lambda e^{- \lambda x}, & x \geqslant 0 \\ 0 , & x<0\end{array} \right

Из этих величин можно получить новый набор случайных величин следующим образом: \eta_{i} = \begin{array}{cc} \frac{\xi_{i}}{\xi_{1}+\xi_{2} + ... + \xi_{n}}, & i = 1..n \end{array}

Требуется найти плотность случайной величины \rho_{\eta_{i}}(z)

Вроде решил задачу, но как-то уж слишком в лоб получилось, поэтому буду благодарен, если кто-нибудь подскажет более изящное решение

Я решал так:

Пусть случайным величинам \xi_{1}, \xi_{2}, ... , \xi_{n} соответствует набор координат $x_1 , x_2 , ... , x_n

Тогда для нахождения функции распределения положим следующие условия: \begin{array}{cc} \frac{x_{1}}{x_{1}+x_{2} + ... + x_{n}} \leqslant z, & x_{i} \geqslant 0 \ \forall \, i=1..n \end{array}

После простых алгебраических преобразований получим: $x_2 + ... + x_n \geqslant x_{1}(\frac{1}{z} - 1) = C x_1, где $C - удобное обозначение

Тогда разбирая $n$-мерный интеграл по повторным:

$ P(x_{1} \leqslant C, ..., x_{n} \leqslant C) = 1 - \int\limits_{0}^{\Lambda_0} \rho(x_1)d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} \rho(x_2)d{x_2} \int\limits_{0}^{\Lambda_2} \rho(x_3)d{x_3} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-1}} \rho(x_n)d{x_n} $

Где \Lambda_{i} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & i = 0 \\ Cx_1 - x_2 - ... - x_i , & i>0\end{array} \right

$ dP(x_{1} \leqslant C, ..., x_{n} \leqslant C) = - \int\limits_{0}^{\Lambda_0} \rho(x_1)d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} \rho(x_2)d{x_2} \int\limits_{0}^{\Lambda_2} \rho(x_3)d{x_3} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-2}} x_1 \rho(x_{n-1}) {\rho(\Lambda_{n-1})} dC d{x_{n-1}} $

$ \rho(z) = \frac{\lambda^n}{z^2} \int\limits_{0}^{\Lambda_0} e^{- \lambda x_1}d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} e^{- \lambda x_2}d{x_2} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-2}} x_1 e^{- \lambda \Lambda_{n-2}} d{x_{n-1}} $

$ \rho(z) = \frac{\lambda^n}{z^2} \int\limits_{0}^{\Lambda_0} e^{- \lambda x_1}d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} e^{- \lambda x_2}d{x_2} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-3}} \Lambda_{n-2} x_1 e^{- \lambda \Lambda_{n-3}} d{x_{n-2}} $

$ \rho(z) = \frac{C^{n-2}{\lambda}^n}{(n-2)! z^2} \int\limits_{0}^{\Lambda_0} e^{- \lambda x_{1}(1+C)} {x_1}^{n-1} d{x_1} = \frac{(\frac{1}{z} - 1)^{n-2} (n-1)!}{(n-2)! z^2 z^{-n}} = (n-1)(1 - z)^{n-2}

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность случайной величины
Сообщение23.04.2015, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Как минимум, можно соединить сумму $\xi_2+\ldots+\xi_n$ в одну с.в. с гамма распределением с параметрами $\lambda$ и $n$. Все-таки меньше интегралов.
Изящное рассуждение про совместную плотность всех этих дробей (ну и про маргинальные распределения тоже, значит) есть у Феллера в параграфе 3 гл. III (2-й том), пример (д).

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность случайной величины
Сообщение24.04.2015, 12:46 


21/02/15
27
Москва
--mS-- в сообщении #1007357 писал(а):
Как минимум, можно соединить сумму $\xi_2+\ldots+\xi_n$ в одну с.в. с гамма распределением с параметрами $\lambda$ и $n$. Все-таки меньше интегралов.

Спасибо, как-то я это пропустил.
--mS-- в сообщении #1007357 писал(а):
Изящное рассуждение про совместную плотность всех этих дробей (ну и про маргинальные распределения тоже, значит) есть у Феллера в параграфе 3 гл. III (2-й том), пример (д)

Совместная плотность находится и правда изящно. Но что-то не понимаю, как легко можно вытянуть маргинальную.

Если $ \rho(z_1, z_2, ..., z_{n-1}) = (n-1)!, то $ \rho(z_1) = (n-1)! \int\limits_{0}^{1-z_1} dz_2  \int\limits_{0}^{1-z_1-z_2} dz_3 \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{1-z_1 - ... - z_{n-2}} dz_{n-1},

что является практически тем же самым интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность случайной величины
Сообщение24.04.2015, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
А не надо её вытягивать. Совместное распределение такое же, как у длин первых $n-1$ отрезков, на которые $n-1$ точка, выбранных независимо и наудачу на отрезке $[0,\,1]$, делят этот отрезок. Пример под более ранней буквой. А поскольку маргинальные распределения наших дробей явно одинаковые, то отсюда бесплатно следует, что и распределения длин этих отрезков одинаковые. И точно такие же, как у первого отрезка - от нуля до наименьшей точки. Т.е. с плотностью $(n-1)(1-z)^{n-2}$.

(Там выше гамма распределение, конечно, с $\lambda$ и $n-1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность случайной величины
Сообщение24.04.2015, 22:08 


21/02/15
27
Москва
--mS--
Спасибо, теперь все понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group