Плотность случайной величины

[e.mazhnik]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.

Есть набор случайных величин \xi_{1}, \xi_{2}, ... , \xi_{n} с показательным распределением, т.е. {\rho}_{\xi_{i}}(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \lambda e^{- \lambda x}, & x \geqslant 0 \\ 0 , & x<0\end{array} \right

Из этих величин можно получить новый набор случайных величин следующим образом: \eta_{i} = \begin{array}{cc} \frac{\xi_{i}}{\xi_{1}+\xi_{2} + ... + \xi_{n}}, & i = 1..n \end{array}

Требуется найти плотность случайной величины \rho_{\eta_{i}}(z)

Вроде решил задачу, но как-то уж слишком в лоб получилось, поэтому буду благодарен, если кто-нибудь подскажет более изящное решение

Я решал так:

Пусть случайным величинам \xi_{1}, \xi_{2}, ... , \xi_{n} соответствует набор координат $x_1 , x_2 , ... , x_n

Тогда для нахождения функции распределения положим следующие условия: \begin{array}{cc} \frac{x_{1}}{x_{1}+x_{2} + ... + x_{n}} \leqslant z, & x_{i} \geqslant 0 \ \forall \, i=1..n \end{array}

После простых алгебраических преобразований получим: $x_2 + ... + x_n \geqslant x_{1}(\frac{1}{z} - 1) = C x_1, где $C - удобное обозначение

Тогда разбирая $n$-мерный интеграл по повторным:

$ P(x_{1} \leqslant C, ..., x_{n} \leqslant C) = 1 - \int\limits_{0}^{\Lambda_0} \rho(x_1)d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} \rho(x_2)d{x_2} \int\limits_{0}^{\Lambda_2} \rho(x_3)d{x_3} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-1}} \rho(x_n)d{x_n} $

Где \Lambda_{i} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & i = 0 \\ Cx_1 - x_2 - ... - x_i , & i>0\end{array} \right

$ dP(x_{1} \leqslant C, ..., x_{n} \leqslant C) = - \int\limits_{0}^{\Lambda_0} \rho(x_1)d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} \rho(x_2)d{x_2} \int\limits_{0}^{\Lambda_2} \rho(x_3)d{x_3} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-2}} x_1 \rho(x_{n-1}) {\rho(\Lambda_{n-1})} dC d{x_{n-1}} $

$ \rho(z) = \frac{\lambda^n}{z^2} \int\limits_{0}^{\Lambda_0} e^{- \lambda x_1}d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} e^{- \lambda x_2}d{x_2} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-2}} x_1 e^{- \lambda \Lambda_{n-2}} d{x_{n-1}} $

$ \rho(z) = \frac{\lambda^n}{z^2} \int\limits_{0}^{\Lambda_0} e^{- \lambda x_1}d{x_1} \int\limits_{0}^{\Lambda_1} e^{- \lambda x_2}d{x_2} \ \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{\Lambda_{n-3}} \Lambda_{n-2} x_1 e^{- \lambda \Lambda_{n-3}} d{x_{n-2}} $

$ \rho(z) = \frac{C^{n-2}{\lambda}^n}{(n-2)! z^2} \int\limits_{0}^{\Lambda_0} e^{- \lambda x_{1}(1+C)} {x_1}^{n-1} d{x_1} = \frac{(\frac{1}{z} - 1)^{n-2} (n-1)!}{(n-2)! z^2 z^{-n}} = (n-1)(1 - z)^{n-2}

[--mS--]

Как минимум, можно соединить сумму $\xi_2+\ldots+\xi_n$ в одну с.в. с гамма распределением с параметрами $\lambda$ и $n$. Все-таки меньше интегралов.
Изящное рассуждение про совместную плотность всех этих дробей (ну и про маргинальные распределения тоже, значит) есть у Феллера в параграфе 3 гл. III (2-й том), пример (д).

[e.mazhnik]

--mS-- в сообщении #1007357 писал(а):

Как минимум, можно соединить сумму $\xi_2+\ldots+\xi_n$ в одну с.в. с гамма распределением с параметрами $\lambda$ и $n$. Все-таки меньше интегралов.

Спасибо, как-то я это пропустил.

--mS-- в сообщении #1007357 писал(а):

Изящное рассуждение про совместную плотность всех этих дробей (ну и про маргинальные распределения тоже, значит) есть у Феллера в параграфе 3 гл. III (2-й том), пример (д)

Совместная плотность находится и правда изящно. Но что-то не понимаю, как легко можно вытянуть маргинальную.

Если $ \rho(z_1, z_2, ..., z_{n-1}) = (n-1)!, то $ \rho(z_1) = (n-1)! \int\limits_{0}^{1-z_1} dz_2 \int\limits_{0}^{1-z_1-z_2} dz_3 \cdot \cdot \cdot \int\limits_{0}^{1-z_1 - ... - z_{n-2}} dz_{n-1},

что является практически тем же самым интегралом.

[--mS--]

А не надо её вытягивать. Совместное распределение такое же, как у длин первых $n-1$ отрезков, на которые $n-1$ точка, выбранных независимо и наудачу на отрезке $[0,\,1]$, делят этот отрезок. Пример под более ранней буквой. А поскольку маргинальные распределения наших дробей явно одинаковые, то отсюда бесплатно следует, что и распределения длин этих отрезков одинаковые. И точно такие же, как у первого отрезка - от нуля до наименьшей точки. Т.е. с плотностью $(n-1)(1-z)^{n-2}$.

(Там выше гамма распределение, конечно, с $\lambda$ и $n-1$).

[e.mazhnik]

--mS--
Спасибо, теперь все понятно.