Гравитационное линзирование в поле керровской черной дыры

[KVV]

После просмотра фильма Interstellar и прочтения статьи Кипа Торна решил частично реализовать на Maple алгоритм , описанный в ней. Собственно реализована была малая, но важнейшая часть алгоритма - ray-tracing map, описанная в Appendix A.1. Для начала была взята color map из Figure 10:


которая представляет собой (как и другие картинки) изображение всей небесной сферы в равнопромежуточной проекции (equirectangular projection).
И получено, что для наблюдателя, движущегося по прямой круговой геодезической радиуса $r_c=2.6 M$ (значение координаты $r$ Бойера-Линдквиста - не путать с обычной сферической координатой или расстоянием!) в экваториальной плоскости вокруг керровской черной дыры со спином $a/M=0.999$ небесная сфера будет выглядеть так:


Как видим, очень похоже на то, что изображено на Figure 10 в статье. За разницу в качестве ответственно в первую очередь малое ($323\times646$) разрешение моего исходного изображения, вытащенного прямо из статьи.

А вот что получается для гораздо более реалистичного и качественного изображения с разрешением $1024\times2048$, которое я взял с сайта Double Negative:

source

result

Рендеринг последнего изображения на моем ноутбуке с i3 2.27 GHz и 4 GB RAM занял около двух часов.

[arseniiv]

(Совершеннейший оффтоп.)

У меня от таких картинок возникает иррациональный терминальный страх — смотришь на это чёрное отсутствие изображения чего-либо и понимаешь, что вот ещё чуть-чуть — и оно вполне может сомкнуться сзади тебя, и тогда прощай, жизнь. Понятно, у реальной дыры с аккрецией это будет и поразнообразней, и пораньше фатальнее, и вообще где ещё ту или иную взять, но и. т. с. никуда не денешь.

[SergeyGubanov]

Стал смотреть статью и до меня только сейчас дошло, что там в фильме за "водопад" такой был вокруг дыры:

а это ж задняя часть диска линзируется

[Theoristos]

KVV: c последней картинкой есть одна проблема - звёзды очень точечные, а таким преобразованием сильно растягиваются довольно крупные пиксели.

[KVV]

Theoristos
Не совсем понял. Изображения звезд растягиваются? Так и должно быть. Или вы о другом?

[arseniiv]

KVV
Звёзды имеют угловые размеры гораздо меньше угловых размеров областей, отображающихся в каждый пиксель, и в результате фотография линзирования насчёт звёзд сильно отличается от линзирования фотографии.

[KVV]

arseniiv
Да, так и есть. И это не единственная проблема изображения. Оно достаточно далеко от реализма.

[Munin]

На самом деле, разница невелика.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1007959 писал(а):

На самом деле, разница невелика.

Хм, а визуально там в некоторых местах якобиан чуть ли не десятками был.

KVV в сообщении #1007955 писал(а):

И это не единственная проблема изображения. Оно достаточно далеко от реализма.

Да, из практичных целей можно было бы попреследовать изменение длин волн. Правда, придётся принять гипотезу о виде спектра разных частей картинки. Со звёздами, понятно, планковский вполне можно, а вот с остальным…

(Хотя можно, конечно, все «отдельные» звёзды постирать и дополнить растр описанием координат стёртых звёзд, преобразовать те отдельно и потом нарисовать на результате преобразования растра маленькие гауссовы кружочки с шириной, соответствующей яркости.)

[KVV]

Можно, конечно, пойти дальше по статье и реализовать учет эволюции пучков света и т.д., но боюсь потребуются очень серьезные вычислительные ресурсы. Тысячи серверов у меня нет. : ) Так что я обошелся расчетом эволюции лучей, но не пучков, по схеме один луч - один пиксель результирующего изображения и билинейной интерполяцией между пикселями исходного изображения.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1007985 писал(а):

Хм, а визуально там в некоторых местах якобиан чуть ли не десятками был.

На эти места случайно пришёлся чёрный пиксель :-)

На самом деле, одного ray tracing-а мало, надо ещё считать изменение яркости (за счёт фокусировки-расфокусировки), красное-синее смещение.

[Geen]

Munin в сообщении #1008032 писал(а):

На самом деле, одного ray tracing-а мало, надо ещё считать изменение яркости (за счёт фокусировки-расфокусировки), красное-синее смещение.

Но тогда всё сведётся только к одному белому пикселю на всё поле....

[arseniiv]

Munin в сообщении #1008032 писал(а):

На эти места случайно пришёлся чёрный пиксель

Так я наоборот про существенно белые!

-- Вс апр 26, 2015 03:16:47 --

Geen в сообщении #1008041 писал(а):

Но тогда всё сведётся только к одному белому пикселю на всё поле....

Это называется читерство. «После оценки сложности мы пришли к выводу, что стоит уменьшить размеры сетки и нормализовать значения в узлах узле…»

[KVV]

Удалось оптимизировать алгоритм и теперь рендеринг изображения $1024\times2048$ составляет не два часа, а чуть более 20 мин.
Вот, что в динамике получается для наблюдателя, движущегося по прямой круговой геодезической радиуса $r_c=6.03M$ в экваториальной плоскости вокруг керровской черной дыры со спином $a/M=0.999$ (изображение по прежнему остается преимущественно схематическим):
https://youtu.be/qg7OP0uFJ8U

[KVV]

Я все-таки впоследствии пошел дальше и реализовал основную идею алгоритма, изложенного в статье, - эволюцию пучков света, а не только ray-tracing. Правда, с некоторыми отличиями и не включая полный набор фич, описанных в статье. В этом неоценимую помощь мне оказала переписка с Kip S Thorne и особенно с Oliver James (Chief scientist студии Double Negative Ltd., один из авторов вышеуказанной статьи и кода, с помощью которого генерировались изображения в Interstellar). Oliver James предоставил мне оригинал checkerboard pattern of paint swatches из Figure 10(a), а также обработанное изображение Figure 10(b):


file
Adapted from Figure 10(b) from Gravitational lensing by spinning black holes in astrophysics, and in the movie Interstellar by Oliver James, Eugénie von Tunzelmann, Paul Franklin and Kip S Thorne
doi:10.1088/0264-9381/32/6/065001

А вот то, что удалось получить мне из того же оригинального файла:


file
Adapted from Figure 10(b) from Gravitational lensing by spinning black holes in astrophysics, and in the movie Interstellar by Oliver James, Eugénie von Tunzelmann, Paul Franklin and Kip S Thorne
doi:10.1088/0264-9381/32/6/065001

Как можно убедиться, расчет эволюции пучков с последующим сглаживанием при помощи elliptical weighted average filter позволяет уменьшить алиаcинг и другие шумовые артефакты и получить плавные переходы между деталями текстуры на изображении. А также уменьшить мерцание мелких движущихся объектов, что заметно, если сравнить предыдущее видео со следующими:

http://www.ex.ua/281098181062