Т-изоморфизмы полей

[greg2]

Добрый день
Задача такая: при каких $a, b \in \mathbb{Z}$ поля $\mathbb{Q}(\sqrt{a}) \simeq \mathbb{Q}(\sqrt{b})$ $\mathbb{Q}$-изоморфны? Правильно ли будет - что только при $a=b$? Потому как чтобы существовал изоморфизм $\varphi$ такой, что $\sqrt{a} \rightarrow \sqrt{b}$ и $\varphi \mid_{\mathbb{Q}} = Id$, то $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ должны иметь один и тот же минимальный полином, чего однако, быть не может при разных a, b.

И ещё, как я понимаю требование $\mathbb{Q}$-изоморфности здесь лишнее, потому что для $\mathhbb{Q}$ имеет только один автоморфизм - идентичный, а значит любой изоморфизм расширений будет автоматически $\mathbb{Q}$-изоморфизмом

[nnosipov]

greg2 в сообщении #1007153 писал(а):

Правильно ли будет - что только при $a=b$?

Нет. Рассмотрите пример, когда $a=2$, а $b=8$.

greg2 в сообщении #1007153 писал(а):

И ещё, как я понимаю требование $\mathbb{Q}$-изоморфности здесь лишнее, потому что для $\mathhbb{Q}$ имеет только один автоморфизм

Это да.

[greg2]

Ага, то есть если поля одинаковые. Логично.