Как правильно представлять себе дифференциал?

[epros]

В формально строгом смысле правильно только то, что сказал Pphantom: Линейная часть приращения величины. "Представлять" можно разное, но если это не нестандартный анализ, то никаких "бесконечно малых" не существует. Так что и дифференциал конечен.

[g______d]

svv в сообщении #1006751 писал(а):

Но второй внешний дифференциал равен нулю.

Второй дифференциал в обычных курсах анализа -- это на самом деле первый дифференциал от каждой компоненты первого дифференциала, поэтому это жутко неинвариантный объект. Но для скалярных функций определение дифференциала как $1$-формы $df$ и как касательного отображения $df\colon T\mathbb R\to T\mathbb R$ совпадают в точности, если отождествлять $\mathbb R$ со своим касательным пространством.

[SergeyVK]

Вот в учебниках по классическому дифгему не понятно как понимать современному человеку вот такие дифференциалы в первой фундаментальной форме:

$ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$

Более того, например теорема Менье выводится очень странно.
Вначале записывается вторая фундаментальная форма в таком виде:

$L(du/ds)^2 + 2M(du/ds)(dv/ds) + N(dv/ds)^2$

А потом замечают, что в знаменателе не что иное как первая фундаментальная форма $ds^2$. И в итоге получается отношение двух форм как ни в чем не бывало. А почему так можно делать никто не пишет. Особенно это не понятно на фоне того, что пишут это для второго курса, а на первом твердят, что символ $du/ds$ - это единый цельный символ, но затем в курсе дифгема начинают этими дифференциалами разбрасываться как обычными числами безо всяких пояснений.

[AGu]

SergeyVK в сообщении #1006825 писал(а):

затем в курсе дифгема начинают этими дифференциалами разбрасываться как обычными числами безо всяких пояснений.

Те, кто так делает, — нехорошие бяки. (Хорошие бяки — поясняют.)

[SergeyVK]

Ну вот и пояснил бы кто пограмотнее зачем человечество придумало использовать значки $du$ и $dv$ в формулах двух квадратичных форм и почему в выражении $du^2/ds^2$ знаменатель можно смело заменять на формулу квадрата дифференциала дуги и получится то же самое.
Полезно будет написать. Я не смогу:)

[мат-ламер]

SergeyVK в сообщении #1006825 писал(а):

Вот в учебниках по классическому дифгему не понятно как понимать современному человеку вот такие дифференциалы в первой фундаментальной форме:

$ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$

Я полагаю, что на касательном пространстве задано скалярное произведение. Так тут записано, как это произведение (билинейная форма) выглядит в координатах.

[arseniiv]

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1006738 писал(а):

Да нельзя его просто и строго определить в начальном курсе. Или нестрого, или непросто.

Почему?! Чем функцийка двух эн аргументов $df(x_1,\ldots,\Delta x_1,\ldots)$ не строга, чем не проста? Ну а потом каррировать её — да, не все почему-то сразу разберут функцию, возвращающую функцию, но это тоже идея простая и непонятная только в силу того что о ней почему-то в некоторых курсах совсем не говорят и примеров не приводят для интуиции. Ну и с обозначением множества функций $Y^X = \{f\colon X\to Y\}$ не очень повезло, но уже довольно часто под влиянием функциональных ЯП пишут $X\to Y$ — и двоеточие тогда становится просто красивым традиционным вариантом написания $\in$ для функций, и можно написать понятное $df\colon \mathbb R^n\to(\mathbb R^n\to\mathbb R)$ или даже $df\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n\to\mathbb R$, и привет светлому будущему! Останется только обобщить в следующий раз эти $\mathbb R$.

P. S. И это (я всё про карринг и красивый синтаксический сахар) — не какие-нибудь когомологии! Это вполне можно осилить первокурсникам, я считаю.

P. P. S. Не могу не привести после приготовлений $d\colon(\mathbb R^n\to\mathbb R)\to\mathbb R^n\to\mathbb R^n\to\mathbb R$. [Наверно, это уже пример того, что не надо делать до избавления в определении производной от $\mathbb R$.]

[svv]

arseniiv
Если пользоваться терминологией программирования: Вы хорошо описали тип этой функции, но, может быть, sergei1961 имел в виду, что есть проблемы именно с её реализацией (простой и корректной)?

[arseniiv]

Да, одним типом сыт не будешь! Но реализация-то $df(\mathbf x)(\mathbf h) = (\operatorname{grad}f(\mathbf x),\mathbf h)$. (Опять неприятно от вещественности и скалярного произведения где они не нужны, но, думаю, люди простят.)

(Осторожно, избыток формализма.)

Правда, эту простую реализацию можно не счесть корректной, но ведь все понимают, что она означает $d = f\mapsto\mathbf x\mapsto\mathbf h\mapsto((\operatorname{grad}f)(\mathbf x),\mathbf h)$, но за такое здесь больше по голове надают, думается.

[g______d]

SergeyVK в сообщении #1006825 писал(а):

Вот в учебниках по классическому дифгему не понятно как понимать современному человеку вот такие дифференциалы в первой фундаментальной форме:

$ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$

Это равенство в $T^*M\otimes T^*M$. Левую часть надо обозначить как-то по-другому (поскольку это ни в каком смысле не квадрат, как я понимаю), но правая написана почти нормально, правильно будет $E du\otimes du+2F du\otimes dv+G dv\otimes dv$.

[kp9r4d]

Мне больше интересно: можно ли формализовать понятие дифференциала таким образом, чтобы трюки вроде
$\frac{df}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx}$
и
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
стали корректными? И есть ли какой-нибудь пример, когда подобное своевольное оперирование значком $d$ такого рода приводит к ошибке? (Понятно, что вопрос плохоформализуемый, но всё же).

[arseniiv]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1007008 писал(а):

Мне больше интересно: можно ли формализовать понятие дифференциала таким образом, чтобы трюки вроде
$\frac{df}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx}$
и
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
стали корректными?

Я как-то думал об этом и надумал, что такое изложение анализа «с независимыми и зависимыми переменными» вполне можно понимать буквально — выделить переменные как отдельные сущности и… и в результате тщательного допиливания получатся, вроде, поверхности да кривые в евклидовом пространстве (переменные станут координатами в каком-то фиксированном базисе) и полный дифгем (притом, вроде, в принятых обозначениях). Но сильно не думал и в дифгеме не разбираюсь, так что, возможно, ерунду сказал.

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1007010 писал(а):

Я как-то думал об этом и надумал, что такое изложение анализа «с независимыми и зависимыми переменными» вполне можно понимать буквально — выделить переменные как отдельные сущности и…

Есть очень простая штука.
1. Определяем дифференциал зависимой переменной как функционал - стандартно.
2. Никаких независимых переменных нет! Есть всего лишь тождественные функции, обозначающиеся так же, как переменные: $x(x)=x.$ Таким образом, $dx$ оказывается просто дифференциалом зависимой переменной.

[kp9r4d]

Munin в сообщении #1007021 писал(а):

Есть очень простая штука.
1. Определяем дифференциал зависимой переменной как функционал - стандартно.
2. Никаких независимых переменных нет! Есть всего лишь тождественные функции, обозначающиеся так же, как переменные: $x(x)=x.$ Таким образом, $dx$ оказывается просто дифференциалом зависимой переменной.

Которую ожидают стандартные трудности. В равенствах
$\frac{df}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx}$, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$, $dy$ может быть равно нулю.
Ещё всё отягащается тем что два линейных оператора можно делить друг на друга только когда они пропорциональны что с $d(f(x))$ и $d(x(x))$ случается далеко не всегда, а писать так людям очень хочется почему-то.

[Munin]

Это не трудности, а стандартные ограничения, фигурирующие в стандартном матанализе: если $dy=0,$ то ни $\dfrac{df(y)}{dx},$ ни $\dfrac{dx}{dy}$ не имеют смысла ("обращаются в бесконечность"), а в анализе функций нескольких переменных выражение $\dfrac{df}{dx}$ имеет смысл только при указании конкретной кривой, к тому же не перпендикулярной оси $x.$