2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Небольшая задачка с функциями Ханкеля
Сообщение21.04.2015, 23:55 
Заморожен


24/06/14
358
Здравствуйте!
Можно ли представить функцию Ханкеля 2-го рода с вот таким хитрым индексом:

$H_{\sqrt{1/4+a}}^{(2)}(x)$

в виде

$H_{\sqrt{1/4+a}}^{(2)}(x)=H_{1/2}^{(2)}(x)+F(a,x)$,

где $F(a,x)$ - определенная функция, имеющая (предположительно) вид $f(a)G_{b}(x)$, где $G_{b}(x)$ - какая-то цилиндрическая функция аргумента $x$ и индекса $b$, а $b$ может как зависеть, так и не зависеть от $a$ (я этого пока не знаю).

Если задача математически поставлена некорректно, то просьба указать: я постараюсь сформулировать более четко, что хочу получить. Если такое разложение возможно, то прошу подсказать, как это сделать. В справочниках таких формул я не нашел.
P.S. Это вообще изначально физическая задачи; общий вид вышеуказанного разложения я написал, исходя из физических соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшая задачка с функциями Ханкеля
Сообщение22.04.2015, 02:10 
Заморожен


24/06/14
358
Также прошу подсказать, имеет ли Ханкель 1-го и 2-го рода в точности одинаковые асимптотики в нуле или нет.
В ф-ле 18 параграфа 33 книги Ландау и Лифшица "Квантовая механика" они пишут, что это так. У меня есть подозрение, что это верно только для полуцелых индексов, а в моей задаче - иррациональные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшая задачка с функциями Ханкеля
Сообщение22.04.2015, 02:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
На второй вопрос -- посмотрите в NIST Handbook, начиная отсюда: http://dlmf.nist.gov/10.4

Т. е. они отличаются на удвоенную асимптотику $iY_{\nu}$, а что значит "одинаковые асимптотики" я не знаю. Понятно, что с какого-то члена они точно станут разными. Мне, если честно, лень проверять, сколько членов там сократятся, но посмотрите сюда ещё: http://dlmf.nist.gov/10.2#E2

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшая задачка с функциями Ханкеля
Сообщение22.04.2015, 02:59 
Заморожен


24/06/14
358
У меня как всегда жаргон. Поведение в нуле "асимптотикой" вообще не называют, вроде.
Мне нужно поведение функций Ханкеля 1-го и 2-го рода в нуле. В книге, ссылку на которую я привел, по-моему ошибка. В ваших ссылках поведение в нуле не нашел.
Задачу в стартовом сообщении переформулирую для функции Бесселя

$J_{\sqrt{1/4+a}}(x)$.

Для Ханкеля такое решать - совсем неблагодарное дело. Я и с Бесселем замучался если честно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшая задачка с функциями Ханкеля
Сообщение22.04.2015, 03:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Kirill_Sal в сообщении #1006646 писал(а):
В ваших ссылках поведение в нуле не нашел.
Задачу в стартовом сообщении переформулирую для функции Бесселя


Ряд для функции Бесселя известен (вторая ссылка), формула для функции Ханкеля тоже. Что мешает подставить одно в другое и найти первые несколько членов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшая задачка с функциями Ханкеля
Сообщение22.04.2015, 04:20 
Заморожен


24/06/14
358
:facepalm: я лентяй
Если можно пренебречь $J_{\mu}(z)$, то при малых $z$ связь такая:

$H_{\mu}^{(2)}(x)=-H_{\mu}^{(1)}(x)\approx{\operatorname{const}/x^{\mu}}$.

В ЛЛ почему-то знак $+$ и для 1-го и для 2-го рода и из-за этого путаница.

Тогда другая проблема: вот у нас решение уравнение в виде линейной комбинации функций Ханкеля:

$F=c_{1}H_{\mu}^{(1)}(z)+c_{2}H_{\mu}^{(2)}(z)$

Как удовлетворить условию конечности в нуле, если оно имеет место быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшая задачка с функциями Ханкеля
Сообщение22.04.2015, 06:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kirill_Sal в сообщении #1006648 писал(а):
Как удовлетворить условию конечности в нуле, если оно имеет место быть?

Тупо $c_1=c_2$, т.к. Ханкель -- это Бессель плюс-минус ай Нейман.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group