Небольшая задачка с функциями Ханкеля

[Kirill_Sal]

Здравствуйте!
Можно ли представить функцию Ханкеля 2-го рода с вот таким хитрым индексом:

$H_{\sqrt{1/4+a}}^{(2)}(x)$

в виде

$H_{\sqrt{1/4+a}}^{(2)}(x)=H_{1/2}^{(2)}(x)+F(a,x)$,

где $F(a,x)$ - определенная функция, имеющая (предположительно) вид $f(a)G_{b}(x)$, где $G_{b}(x)$ - какая-то цилиндрическая функция аргумента $x$ и индекса $b$, а $b$ может как зависеть, так и не зависеть от $a$ (я этого пока не знаю).

Если задача математически поставлена некорректно, то просьба указать: я постараюсь сформулировать более четко, что хочу получить. Если такое разложение возможно, то прошу подсказать, как это сделать. В справочниках таких формул я не нашел.
P.S. Это вообще изначально физическая задачи; общий вид вышеуказанного разложения я написал, исходя из физических соображений.

[Kirill_Sal]

Также прошу подсказать, имеет ли Ханкель 1-го и 2-го рода в точности одинаковые асимптотики в нуле или нет.
В ф-ле 18 параграфа 33 книги Ландау и Лифшица "Квантовая механика" они пишут, что это так. У меня есть подозрение, что это верно только для полуцелых индексов, а в моей задаче - иррациональные.

[g______d]

На второй вопрос -- посмотрите в NIST Handbook, начиная отсюда: http://dlmf.nist.gov/10.4

Т. е. они отличаются на удвоенную асимптотику $iY_{\nu}$, а что значит "одинаковые асимптотики" я не знаю. Понятно, что с какого-то члена они точно станут разными. Мне, если честно, лень проверять, сколько членов там сократятся, но посмотрите сюда ещё: http://dlmf.nist.gov/10.2#E2

[Kirill_Sal]

У меня как всегда жаргон. Поведение в нуле "асимптотикой" вообще не называют, вроде.
Мне нужно поведение функций Ханкеля 1-го и 2-го рода в нуле. В книге, ссылку на которую я привел, по-моему ошибка. В ваших ссылках поведение в нуле не нашел.
Задачу в стартовом сообщении переформулирую для функции Бесселя

$J_{\sqrt{1/4+a}}(x)$.

Для Ханкеля такое решать - совсем неблагодарное дело. Я и с Бесселем замучался если честно.

[g______d]

Kirill_Sal в сообщении #1006646 писал(а):

В ваших ссылках поведение в нуле не нашел.
Задачу в стартовом сообщении переформулирую для функции Бесселя

Ряд для функции Бесселя известен (вторая ссылка), формула для функции Ханкеля тоже. Что мешает подставить одно в другое и найти первые несколько членов?

[Kirill_Sal]

я лентяй
Если можно пренебречь $J_{\mu}(z)$, то при малых $z$ связь такая:

$H_{\mu}^{(2)}(x)=-H_{\mu}^{(1)}(x)\approx{\operatorname{const}/x^{\mu}}$.

В ЛЛ почему-то знак $+$ и для 1-го и для 2-го рода и из-за этого путаница.

Тогда другая проблема: вот у нас решение уравнение в виде линейной комбинации функций Ханкеля:

$F=c_{1}H_{\mu}^{(1)}(z)+c_{2}H_{\mu}^{(2)}(z)$

Как удовлетворить условию конечности в нуле, если оно имеет место быть?

[ewert]

Kirill_Sal в сообщении #1006648 писал(а):

Как удовлетворить условию конечности в нуле, если оно имеет место быть?

Тупо $c_1=c_2$, т.к. Ханкель -- это Бессель плюс-минус ай Нейман.