Простота торического узла

[Terraniux]

Доброго времени суток.

Разбираюсь с доказательством простоты торических узлов. Суть такова -- всякая сфера, пересекающая торический узел, может разбить его лишь на 2 таких узла, из которых один всегда тривиальный. Подскажите, пожалуйста, чуть подробнее про эту идею (она описана в статье Morinigo Marcos Prime factorization of knots), как доказать простоту торического узла (отсюда напрямую будет следовать их бесконечность, ибо торические узлы $(p_1,q_1) $ и $(p_2,q_2)$ неэквивалентны при $(p_1,q_1)\neq (p_2,q_2),(q_2,p_1)$.

[Terraniux]

Попробуем исходить от противного.
Пусть существует непростой узел $K$, вкладываемый в тор $T$. Тогда существует сфера $S^2$, пересекающая узел в двух точках так, что внутри сферы находится нетривиальный узел.
Возможные пересечения сферы с тором:
1) 1 "простая" окружность. Если $K$ пересекает эту окружность в какой-то точке, то, по предположению, он пересекает ее в другой точке, и данный второй кусок узла должен быть вложен в сферу $S^2$, но тогда он тривиален.
2) 2 "меридианные" окружности. Тогда часть узла внутри шара будет вложена в цилиндр, ограниченный этими двумя окружностями, но такой узел также тривиален.
3) 2 окружности-параллели. Аналогичная с предудщим пунктом ситуация, цилиндр - обязан быть тривиальным.
4) Пересечение по узлу типа $(1,m)$ или $(m,1)$. Тут все посложнее, но хочется сказать 2 вещи:
1) Такого пересечение сферы с тором быть не может; 2) но даже если может - то тут каким-то образом должен получиться опять цилиндр.
Подскажите, пожалуйста, по поводу этих идей, верны ли они, и как оформить их строже.
Также есть небольшой вопрос по построению полинома Александера для торического узла $(p,q)$ - где можно почитать про его вычисление, в частности, как получить $\dfrac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}$?

[Terraniux]

В книге Кроуэлл Фокс на странице 195 предлагается доказать, что полином Александера равен указанному выше, через копредставление Виртингера. Помогите, пожалуйста, разобраться с доказательством этого факта, что используется в нем и что нужно знать.