Средняя относительная скорость молекул Максвелловского газа

[fronnya]

Собственно нужно мне её вычислить, чтобы учесть относительное движение в выражении для средней частоты столкновения, но это уже другая тема. Нужно просто вычислить. Я знаю, что распределение Максвелла для двух молекул дается выражением

$$dW(\vec{v_1},\vec{v_2})=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^3 \exp\left[-\frac{m(v_1^2+v_2^2)}{2kT}\right]d\vec{v_1} d\vec{v_2}$$

Я полагаю, нужно перейти в сферические координаты, чтобы в принципе иметь дело с модулями величин. Но я никогда не работал с распределением Максвелла в таком виде..

[Munin]

Было уже: «Среднее значение квадрата скорости молекул»
(причём в вашей же теме)

[fronnya]

Munin в сообщении #1006592 писал(а):

Было уже: «Среднее значение квадрата скорости молекул»
(причём в вашей же теме)

я с самого начала хочу получить это.

[amon]

Может поможет. Введите $\mathbf{V}=\frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2}{2}$ и $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2$. Тогда $dv_1dv_2=dVdv,$ a $\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2=2\mathbf{V}^2+\frac{\mathbf{v}^2}{2}$

[fronnya]

amon в сообщении #1006613 писал(а):

Может поможет. Введите $\mathbf{V}=\frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2}{2}$ и $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2$. Тогда $dv_1dv_2=dVdv,$ a $\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2=2\mathbf{V}^2+\frac{\mathbf{v}^2}{2}$

И якобиан здесь использовать, да?

[amon]

Якобиан - единица.

[fronnya]

amon в сообщении #1006617 писал(а):

Якобиан - единица.

Векторы пропали,теперь распределение имеет вид

$$f(v,V)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^3 \exp\left[-\frac{m(2V^2+\frac 1 2 v^2)}{2kT}\right]$$

$\vec{v}=\vec{v_1}-\vec{v_2}$- это и есть относительная скорость, значит

$$\overline{v}=\iint\limits_0^{+\infty} v\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^3 \exp\left[-\frac{m(2V^2+\frac 1 2 v^2)}{2kT}\right]dvdV$$

. Да?

[amon]

Так ноль будет от усреднения по направлениям. Осмысленно считать средний квадрат относительной скорости, и не забывать, что $dv$ и $dV$ это $dv_xdv_ydv_z$ итп. (Кто-то что-то про сферические координаты говорил )

[fronnya]

Ладно, ерунду какую-то написал. Недопонял. Там возникнет шестикратный интеграл?

-- 21.04.2015, 23:57 --

amon в сообщении #1006613 писал(а):

Может поможет. Введите $\mathbf{V}=\frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2}{2}$ и $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2$. Тогда $dv_1dv_2=dVdv,$ a $\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2=2\mathbf{V}^2+\frac{\mathbf{v}^2}{2}$

У меня $dVdv=1/2 dv_1^2-1/2 dv_2^2$

[amon]

Угу. Только три из них сразу берутся, а в оставшихся можно попытаться воспользоваться тем, что $\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2 e^{-ax^2}dx=-\frac{\partial}{\partial a}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx$.

-- 22.04.2015, 01:04 --

fronnya в сообщении #1006632 писал(а):

У меня $dVdv=1/2 dv_1^2-1/2 dv_2^2$

Срочно читаем про замену переменных в кратных интегралах. Пока не прочитаете - разговаривать дальше нельзя.

[fronnya]

Старые скорости через новые выражаются так: $\vec{v}_1=\vec{V}+\frac 1 2 \vec{v}; \vec{v}_2=\vec{V}-\frac 1 2 \vec{v}$. Тогда $\left|\frac{D(\vec{v}_1,\vec{v}_2)}{D(\vec{V},\vec{v})}\right|=1$. Так?

-- 22.04.2015, 00:27 --

Ааа, я правда ерунду написал, второй раз Формула же перехода, я про неё не подумал. В общем, получается так:

$$f(v,V)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^3 \exp\left[-\frac{m(2V^2+\frac 1 2 v^2)}{2kT}\right]$$

-- 22.04.2015, 00:52 --

Получается, что если перейти к сферическим координатам и проинтегрировать по углам, то должно получиться вот так?

$$\overline{v}=16\pi^2 \int\limits_0^{+\infty} V^2 \exp\left[{-\frac{mV^2}{kT}}\right]dV \int\limits_0^{+\infty} v^3 \exp\left[{-\frac{mv^2}{4kT}}\right]dv$$

-- 22.04.2015, 00:58 --

Эти два интеграла оставшиеся очень просто выражаются через гамма-функцию, но получается совсем не то, что должно быть.

[amon]

fronnya в сообщении #1006637 писал(а):

$\left|\frac{D(\vec{v}_1,\vec{v}_2)}{D(\vec{V},\vec{v})}\right|=1$. Так?

Угу.

fronnya в сообщении #1006637 писал(а):

но получается совсем не то, что должно быть.

Считайте средний квадрат относительной скорости ($\overline{v^2}$). Средняя скорость это корень из того, что сосчитаете.

[fronnya]

А по-моему $\overline{v}\ne \sqrt{\overline{v^2}}$. Если я не прав, то докажите, пожалуйста.

[amon]

fronnya в сообщении #1006739 писал(а):

А по-моему $\overline{v}\ne \sqrt{\overline{v^2}}$.

Бывает средняя скорость, бывает средняя квадратичная. Они друг другу не равны. Сосчитать можно и ту, и другую. У Вас что получилось и с чем Вы сравнивали?

[fronnya]

amon в сообщении #1006809 писал(а):

fronnya в сообщении #1006739 писал(а):

А по-моему $\overline{v}\ne \sqrt{\overline{v^2}}$.

Бывает средняя скорость, бывает средняя квадратичная. Они друг другу не равны. Сосчитать можно и ту, и другую. У Вас что получилось и с чем Вы сравнивали?

Я пытался вычислить среднюю относительную скорость $\overline{v}=\iiint \iiint v f(\vec{v},\vec{V})d\vec{v}d\vec{V}$ перейдя к полярным координатам, где, согласно замене, $\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2$, т.е. относительная скорость. Должно было получиться $\sqrt{\frac{16 kT}{\pi m}}$, точнее я думал, что так получится. Но получилась ерунда.