2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эффективная оценка дисперсии
Сообщение20.04.2015, 19:04 


11/12/14
148
Здравствуйте. Прошу помочь увидеть, что не так в моих рассуждениях, сам просто не вижу, что не так.
В задаче требуется показать, являются ли ${S^2}$ и $S_0^2 = \frac{n}{{n - 1}}{S^2}$ $(R)$-эффективными оценками дисперсии или нет, если выборка берется из нормального распределения с нулевым средним и дисперсией ${\sigma ^2}$. Я показал, что семейство регулярно. Нашел информацию Фишера (в проверке регулярности) $I({\sigma ^2}) = \frac{1}{{2{\sigma ^4}}}$. Вычитал также, что случайная величина
$\frac{{n{S^2}}}{{{\sigma ^2}}} = \frac{{(n - 1)S_0^2}}{{{\sigma ^2}}} $ имеет распределение ${\chi ^2}(n - 1)$. Значит, можно просто найти левую часть неравенства Рао - Крамера, а именно - дисперсию. $\[\begin{array}{l}
D{S^2} = \frac{{{\sigma ^4}}}{{{n^2}}}D(\frac{{n{S^2}}}{{{\sigma ^2}}}) = \frac{{2{\sigma ^4}(n - 1)}}{{{n^2}}},\\
DS_0^2 = \frac{{{\sigma ^4}}}{{{{(n - 1)}^2}}}D(\frac{{(n - 1)S_0^2}}{{{\sigma ^2}}}) = \frac{{2{\sigma ^4}}}{{n - 1}}
\end{array}\]$. У второй оценки смещение нулевое, а у первой $b({\sigma ^2}) =  - \frac{{{\sigma ^2}}}{n}$. Поэтому все теперь можем подставить в неравенство $\[D({S^2}) = \frac{{2{\sigma ^4}(n - 1)}}{{{n^2}}} \ge \frac{{{{(1 + {b^'}({\sigma ^2}))}^2}}}{{nI({\sigma ^2})}} = \frac{{2{\sigma ^4}{{(n - 1)}^2}}}{{{n^3}}}\]$. Видно, что равенства нет. Значит, не является $(R)$-эффективной, а должна быть. Ну и со второй все тоже понятно, там тоже не выполняется равенство. Вот я в замешательстве, вроде числа все адекватные получаются, а ответ не тот. Что может быть не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение20.04.2015, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
А кто Вам сказал, что должны быть? Подумайте и напишите эффективную оценку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение20.04.2015, 21:04 


11/12/14
148
--mS-- в сообщении #1006045 писал(а):
А кто Вам сказал, что должны быть? Подумайте и напишите эффективную оценку.


В ответах в задачнике написано, что она $(R)$ - эффективная. Над чем подумать? Я не очень понимаю, тут же одни вычисления. Если вот $n$ устремить к бесконечности, то нижняя граница неравенства будет достигнута, это может что-то значить? Например, что она асимптотически эффективная, если так можно говорить вообще.
Я не уточнил, ${S^2}$ должна быть $(R)$ - эффективной, согласно задачнику, а вторая оценка нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение20.04.2015, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Это ошибка. Они обе не эффективные, а асимптотически эффективные (так можно говорить).
Эффективной тут будет другая оценка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение20.04.2015, 22:48 


11/12/14
148
alisa-lebovski в сообщении #1006102 писал(а):
Это ошибка. Они обе не эффективные, а асимптотически эффективные (так можно говорить).
Эффективной тут будет другая оценка.



Ну раз ошибка, то я спокоен. Спасибо! Ради интереса насчет эффективной оценки : нужно исходную на что-то домножить, чтобы равенства добиться? Потому что прибавлять/отнимать что-то бесполезно по-моему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение20.04.2015, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
TripleLucker в сообщении #1006119 писал(а):
Ну раз ошибка, то я спокоен.

А что за задачник?

(Оффтоп)

Очень хочется сказать ТС что-то тёплое и ласковое, но я дождусь ответа :facepalm:


TripleLucker в сообщении #1006119 писал(а):
Ради интереса насчет эффективной оценки : нужно исходную на что-то домножить, чтобы равенства добиться? Потому что прибавлять/отнимать что-то бесполезно по-моему.

Нужно взять другую оценку. Ту, о которой и идёт речь в задаче. Призыв "подумать" снимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение21.04.2015, 07:40 


11/12/14
148
--mS-- в сообщении #1006135 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1006119 писал(а):
Ну раз ошибка, то я спокоен.

А что за задачник?

(Оффтоп)

Очень хочется сказать ТС что-то тёплое и ласковое, но я дождусь ответа :facepalm:


TripleLucker в сообщении #1006119 писал(а):
Ради интереса насчет эффективной оценки : нужно исходную на что-то домножить, чтобы равенства добиться? Потому что прибавлять/отнимать что-то бесполезно по-моему.

Нужно взять другую оценку. Ту, о которой и идёт речь в задаче. Призыв "подумать" снимаю.



Коршунов, Чернова
Оценка максимального правдоподобия в задачнике, она - ${S^2}$. Что не так? C чего возникает недовольство, я бы не спрашивал здесь, если бы знал, что делать, верно?
Я знаю, что есть эффективная оценка, но она не связана с этой задачей - $\overline {{X^2}} $
P.S. Понял, она и будет оценкой максимального правдоподобия в данном случае, простите, пожалуйста, за невнимательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение21.04.2015, 08:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
TripleLucker в сообщении #1006237 писал(а):
Я знаю, что есть эффективная оценка, но она не связана с этой задачей - $\overline {{X^2}} $
P.S. Понял, она и будет оценкой максимального правдоподобия в данном случае, простите, пожалуйста, за невнимательность.

(Оффтоп)

За невнимательность? А кто будет просить прощения за якобы неверный ответ? Вы тут на меня клевещете, а я и недовольства выразить не могу?


Что значит "не связана"? С полными и достаточными статистиками Вы вроде как должны быть знакомы. Если Вам известна эффективная оценка (которая по теореме БРК есть п.н. функция от полной и достаточной статистики), то каким образом статистики, НЕ являющиеся функциями от неё, могут вообще подозреваться на эффективность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение21.04.2015, 08:14 


11/12/14
148

(Оффтоп)

Прошу прощения за предоставленный неверный ответ.


Знаком, просто не подумал об этом, очень много всяких разных оценок и я запутался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group