Диагональный метод Кантора, помогите понять мою ошибку

[Redkhmer]

Someone
Вы несправедливо назвали меня опровергателем и верно поняли, что я не совсем понимаю то о чем говорю и всю тему поднял для того чтобы локализовать области своего непонимания. Заголовок темы заранее говорт об ошибке.

Мини экзамен сходу не подглядывая - это наверное то что сейчас нужно, именно для выше указанной цели.

1. Конечное множество - равномощно множеству построенному из конечной последовательности натуральных чисел, лучше сказать равномощно множеству определяющему конечное натуральное число.

2. Бесконечное множество имеет подмножество равномощное самому себе.

3. Несчетному множество, то которое не допускает построения биекции с бесконечным натуральным рядом.

Вот так быстро и коряво отвечаю чтобы получить от вас указание на то что я не понимаю и разобраться с этим.

С конструктивизмом я запутался явно, поскольку определение действительных чисел через становящиеся последовательности принял всего лишь как небольшое усложнение фундаментальных последовательностей Кантора. А с алгоритмами для меня уже совсем темный лес начался.

-- 21.04.2015, 01:31 --

В общем и целом первоначальная моя цель понять в чем ошибка этой самой единицы не входящей в диагональ Кантора мной с помощью уважаемых и весьма деликатных участников форума достигнута.
Резюмировать могу так( вдруг и здесь ошибка - укажите). Диагональным методом от противного доказывается что существует множество, обладающее в отношении мощности свойством, которое отличает его от счетного множества, проще говоря континуальностью, далее доказывается что разность такого множества и его счетного подможетсва будет так же обладать этим свойством. Теперь мне бы надо смирится с таким непостижимым фактом, что на цепочке конечные множества - счетные - континуальные должны сохранится все те свойства множеств, позволяющие провести вышеупомянутые доказательства. Насколько я предполагаю собака будет отрыта в тот момент когда пойму где кончается "наивная теория множеств" и начинается Цермело-Френкель.

[kp9r4d]

Redkhmer в сообщении #1006180 писал(а):

еперь мне бы надо смирится с таким непостижимым фактом, что на цепочке конечные множества - счетные - континуальные должны сохранится все те свойства множеств, позволяющие провести вышеупомянутые доказательства.

Какие вышеупомянутые доказательства? Если вы про доказательство того, что множество всех множеств мощнее данного, то оно доказывается и в НТВ. Но не через диагональный метод (хотя некоторые аналогии провести можно).

[Redkhmer]

kp9r4d
Я имел в виду те доказательства которые опираются на свойства множеств излагаемые на первых страницах любого учебника, а именно свойства объединений пересечений и разностей. Вообще этот пассаж имел в виду некое метафорическое описании психологии процесса. И я не понимаю что вы назвали абревиатурой НТВ - наивную теорию множеств или телеканл?

Если конкретнее то пытаюсь смоделировать в себе некое историко математическое состояние происшдшее с появлением "рая Который нам подарил Георг Кантор" тотесть как то пережить и пережевать все те позициии которые занимали противники Канторовской теории. На этом пути я вижу некую долину в которой находятся четыре горы логицизм, формализм, интуиционизм-конструктивизм(двойная гора), и обездонное озеро математического платонизма, пытаюсь определить свое положении относительно этих ориентиров. Примерно так...

[kp9r4d]

Redkhmer в сообщении #1006187 писал(а):

Если конкретнее то пытаюсь смоделировать в себе некое историко математическое состояние происшдшее с появлением "рая Который нам подарил Георг Кантор" тотесть как то пережить и пережевать все те позициии которые занимали противники Канторовской теории. На этом пути я вижу некую долину в которой находятся четыре горы логицизм, формализм, интуиционизм-конструктивизм(двойная гора), и обездонное озеро математического платонизма, пытаюсь определить свое положении относительно этих ориентиров. Примерно так...

А может сперва логично изучить теорию множеств/логику в современном её состоянии хотя бы на уровне студента матфака, чтобы смотреть на эти самые горы через призму опыта, накопленного нашими предками за прошедший век?

[Redkhmer]

kp9r4d
Этим я и занимаюсь, но равзилка интуиционизма возникает уже на появлении континуального множества. То есть выбор за или протв интуиционизма начинается с отношения к позиции Кронекера, первого самого яростного противника Кантора. Соглашаемся ли мы с тем что существуют толко натуральные числа созданные Богом или нет? Этот воррос, на мой взгляд, не того рода как например недопонятое доказтельство в учебнике, которое можно принять на веру и двигаться дальше. Или я ошибаюсь? Иными словами, призма опыта накопленного предками не одна, а лучше сказать реальностей вопроса несколько и выбор происходит в начальной стадии

[kp9r4d]

Redkhmer
Ну, курс логики, насколько мне это видится, даёт единый взгляд на конструктивизм и классическую математику (как на первопорядковые теории). Когда вы начинаете учить (классическую) теорию множеств, вы сразу же соглашаетесь с её аксиомами и правилами вывода. Никаких разночтений "внутри" теории множеств, верно ли конкретное утверждение или нет (опуская некоторые вопросы недоказуемости и прочие тонкости) быть не может.

Redkhmer в сообщении #1006193 писал(а):

Соглашаемся ли мы с тем что существуют толко натуральные числа созданные Богом или нет? Этот воррос, на мой взгляд, не того рода как например недопонятое доказтельство в учебнике, которое можно принять на веру и двигаться дальше.

На мой взгляд это вопрос психоэмоциональный, а не математический и от того, как вы на него ответите никакие ваши потенциальные результаты или решения не станут более или менее сомнительными (с точки зрения математики). Рома Михайлов вообще считает математику формой мистицизма, но в гомологиях всяких шарит довольно неплохо, и чтобы пользоваться его результатами не обязательно считать точно так же.

[Someone]

Redkhmer в сообщении #1006180 писал(а):

Вы несправедливо назвали меня опровергателем

Прошу прощения. Но ваше поведение сильно напоминает поведение всяких опровергателей Кантора, и они уже изрядно надоели.

Redkhmer в сообщении #1006180 писал(а):

1. Конечное множество - равномощно множеству построенному из конечной последовательности натуральных чисел, лучше сказать равномощно множеству определяющему конечное натуральное число.

Лучше сказать, что конечное множество — это множество, равномощное отрезку натурального ряда. Под отрезком натурального ряда понимается множество натуральных чисел, меньших заданного натурального числа: $\mathbb N_n=\{k\in\mathbb N:k<n\}$, где $n\in\mathbb N$.

Redkhmer в сообщении #1006180 писал(а):

2. Бесконечное множество имеет подмножество равномощное самому себе.

Это вообще не определение. Вы думаете, что подмножество может быть не равномощно самому себе?
Обычно множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Это можно переформулировать так, чтобы никакого отрицания в определении не встречалось.
Есть ещё определение множества, бесконечного по Дедекинду: это множество, которое равномощно своему собственному подмножеству (множество $A$ называется собственным подмножеством множества $B$, если $A\subseteq B$, причём, $A\neq B$).
Эти два определения бесконечного множества могут быть не эквивалентными (это зависит от используемой аксиоматики теории множеств).

Redkhmer в сообщении #1006180 писал(а):

3. Несчетному множество, то которое не допускает построения биекции с бесконечным натуральным рядом.

Например, множество, состоящее из одного элемента. Или пустое множество.

Почитайте вот это: http://dxdy.ru/post413407.html#p413407.

Ваши "рассуждения" в конце сообщения я вообще не понял. Вы что сказать-то хотели? Проблема ваша, на мой взгляд, вызвана незнанием точных определений. И "собака будет отрыта" в тот момент, когда Вы разберётесь с определениями.

Про интуиционизм и прочие конструктивизмы рекомендую пока забыть до лучших времён.

[AGu]

Someone, конечно, жестковато послал Вас... эээ... учиться, но он прав.

Еще я хотел бы сказать, что среди современных профессиональных математиков нет деления на «безнадежных классиков» и «убежденных конструктивистов», нет той «развилки» и нет никакого «выбора за или против», о которых Вы говорите. Спорить по этому поводу продолжают лишь любители. А профессиональные математики просто работают в той области, которая им больше нравится, причем иногда (и даже довольно часто) сразу в нескольких «идейно противоположных» областях.

Кстати, среди профессиональных математиков тоже есть своего рода «опровергатели» (правда, не метода Кантора), хоть их и мало. Но в отличие от любителей они ни с кем не спорят и никого не разоблачают. Они просто эпизодически пытаются найти противоречие в исследуемой теории. Их можно счесть странноватыми, но в наличии ума и смелости им не откажешь.