Сколько различных групп имеет заданный порядок

[Kras]

Задача в том, чтобы найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 4, б) 6, в) 8.

в) Итак, для порядка $8$ имеется циклическая группа $\mathbb{Z}_8$ и две абелевы группы $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$ и $(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)\times\mathbb{Z}_2$
б) $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_6$ (из-за того, что $2$ и $3$ - взаимно простые числа)
а) $\mathbb{Z}_4$ и $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$

Но как найти все неабелевы группы и как доказать что никаких других групп нет? Существует ли способ отыскания всех групп для любого заданного порядка $n$?

[lek]

М.Холл "Теория групп" (см. 4.4)

[ИСН]

В двух словах: нет, всё сложно. Конкретно в Вашем случае надо проделать что-то вроде исчерпывающего перебора таблиц умножения. Должно получиться, что для 4 их нету, для 6 - $S_3$, для 8 - $D_4$ и группа кватернионных единиц.

[Nemiroff]

Конкретно для этих порядков можно применять всякие простые теоремы о классификации.

[Kras]

Nemiroff
Я не знаю теоремы о классификации. Да, задача сформулирована именно для этих порядков (хотя тут возникает и общий вопрос). ИСН предложил идею перебора, но для порядка $8$ выполнить перебор уже будет слишком мучительно, особенно если нужно найти неабелевы группы.
lek
Спасибо, но это целая теория.

[VAL]

Таблицы Кэли - последнее дело. Я бы начал с исследования возможных порядков элементов. Для $n=4$ и $n=6$ (с учетом теоремы Силова) все быстро проверяется. Для $n=8$ похуже, но все равно гораздо эффективнее перебора таблиц.

[ИСН]

Что правда, то правда: элементарные соображения про порядки и т.п. сильно сокращают перебор.

[Kras]

Верно ли, что любую абелеву группу можно выразить через декартовы произведения циклических?

[Xaositect]

Да, любая конечная абелева группа разлагается в произведение циклических групп вида $\mathbb{Z}_{p^k}$

[nnosipov]

С конечно порождёнными абелевыми группами тоже всё просто, надо только добавить несколько экземпляров $\mathbb{Z}$.

[Kras]

Всем спасибо за ответы.

Xaositect в сообщении #1005969 писал(а):

Да, любая конечная абелева группа разлагается в произведение циклических групп вида $\mathbb{Z}_{p^k}$

А где проще всего изложено доказательство этого факта?

[Brukvalub]

Неплохо написано в учебнике Винберга "Алгебра".