2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 08:57 
Задача в том, чтобы найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 4, б) 6, в) 8.

в) Итак, для порядка $8$ имеется циклическая группа $\mathbb{Z}_8$ и две абелевы группы $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$ и $(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)\times\mathbb{Z}_2$
б) $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_6$ (из-за того, что $2$ и $3$ - взаимно простые числа)
а) $\mathbb{Z}_4$ и $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$

Но как найти все неабелевы группы и как доказать что никаких других групп нет? Существует ли способ отыскания всех групп для любого заданного порядка $n$?

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 09:27 
Аватара пользователя
М.Холл "Теория групп" (см. 4.4)

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 10:13 
Аватара пользователя
В двух словах: нет, всё сложно. Конкретно в Вашем случае надо проделать что-то вроде исчерпывающего перебора таблиц умножения. Должно получиться, что для 4 их нету, для 6 - $S_3$, для 8 - $D_4$ и группа кватернионных единиц.

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 11:01 
Конкретно для этих порядков можно применять всякие простые теоремы о классификации.

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 12:00 
Nemiroff
Я не знаю теоремы о классификации. Да, задача сформулирована именно для этих порядков (хотя тут возникает и общий вопрос). ИСН предложил идею перебора, но для порядка $8$ выполнить перебор уже будет слишком мучительно, особенно если нужно найти неабелевы группы.
lek
Спасибо, но это целая теория.

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 13:03 
Таблицы Кэли - последнее дело. Я бы начал с исследования возможных порядков элементов. Для $n=4$ и $n=6$ (с учетом теоремы Силова) все быстро проверяется. Для $n=8$ похуже, но все равно гораздо эффективнее перебора таблиц.

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 13:27 
Аватара пользователя
Что правда, то правда: элементарные соображения про порядки и т.п. сильно сокращают перебор.

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 17:59 
Верно ли, что любую абелеву группу можно выразить через декартовы произведения циклических?

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 18:02 
Аватара пользователя
Да, любая конечная абелева группа разлагается в произведение циклических групп вида $\mathbb{Z}_{p^k}$

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 18:09 
С конечно порождёнными абелевыми группами тоже всё просто, надо только добавить несколько экземпляров $\mathbb{Z}$.

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 18:10 
Всем спасибо за ответы.
Xaositect в сообщении #1005969 писал(а):
Да, любая конечная абелева группа разлагается в произведение циклических групп вида $\mathbb{Z}_{p^k}$

А где проще всего изложено доказательство этого факта?

 
 
 
 Re: Сколько различных групп имеет заданный порядок
Сообщение20.04.2015, 18:33 
Аватара пользователя
Неплохо написано в учебнике Винберга "Алгебра".

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group