Реальность планеты Миллера из Интерстеллара

[aa_dav]

В сюжете Интерстеллара "планета Миллера" обладала двумя ключевыми для сюжета свойствами:
а) вращалась вокруг черной дыры "Гаргантюа"
б) за час пребывания на планете "снаружи" на достаточно удаленном корабле прошло 7 лет.
Нетрудно заметить, что коэффициентик замедления то астрономический, в бытовой калькулятор цифры отличающиеся после запятой от девятки даже не влазят.
А далее мне стало интересно вот что - судя по тому что я знаю на расстоянии $1.5rg$, где $rg$ это гравитационный радиус, уже невозможны стабильные орбиты.
Далее не так давно формулу замедления времени в гравипотенциале мне подсказали как $\sqrt{1-rg/r}$, откуда видно, что если у планеты стабильная орбита, то гравитационный вклад так скажем не столь велик, сколько получается должен быть вклад за счёт замедления по скорости.
Выходит в реальности планета Миллера должна двигаться с почти световой скоростью и скажем так - приземлится на неё уже по факту было бы гигантской проблемой в реальности?
Нет ли где ошибки в таких рассуждениях?

[svv]

aa_dav в сообщении #1005544 писал(а):

Далее не так давно формулу замедления времени в гравипотенциале мне подсказали как $\sqrt{1-rg/r}$, откуда видно, что если у планеты стабильная орбита, то гравитационный вклад так скажем не столь велик, сколько получается должен быть вклад за счёт замедления по скорости.

Давайте введём трёх наблюдателей:
1) бесконечно удаленный, неподвижен относительно ЧД; его собственное время $t$;
2) неподвижно висит над ЧД в точке с радиальной координатой $r$; его собственное время $\tau$;
3) сидит на планете, которая вращается вокруг ЧД по стационарной круговой орбите с радиальной координатой $r$; его собственное время $\tau_p$.
Тогда
$\begin{array}{l}\dfrac{dt}{d\tau}=\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)^{-\frac 1 2}\\[1.5ex]\dfrac{dt}{d\tau_p}=\left(1-\dfrac 3 2\dfrac{r_g}{r}\right)^{-\frac 1 2}\end{array}$
Первое равенство сразу получается из записи метрики Шварцшильда, а второе получается из условия, что мировая линия планеты — геодезическая с постоянными $r$ и $\theta$. Из него же видно, что при $r\leqslant\frac 3 2 r_g$ «что-то будет нехорошо».

Интересно, зная $\frac{dt}{d\tau_p}=\frac{\text{семь долгих лет}}{\text{один короткий час}}$, найти $\frac{r_g}{r}$ из второго равенства и потом чисто гравитационное замедление из первого.

aa_dav в сообщении #1005544 писал(а):

Выходит в реальности планета Миллера должна двигаться с почти световой скоростью и скажем так - приземлится на неё уже по факту было бы гигантской проблемой в реальности?

А на этот вопрос ответит производная
$\dfrac{d\tau}{d\tau_p}=\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac 1 2}$,
которую можно найти из первых двух.

[Geen]

К слову, в метрике Шварцшильда радиус минимальной круговой устойчивой орбиты $3r_g$. А $3/2r_g$ - это фотонная сфера...

А в фильме дыра вращалась...

[aa_dav]

Geen в сообщении #1005564 писал(а):

А в фильме дыра вращалась...

Ах да, чёрт, это может всё изменить.

[aa_dav]

svv в сообщении #1005553 писал(а):

А на этот вопрос ответит производная...

А разве не достаточно думать по схеме что я изначально написал - что если для неподвижной точки в гравиполе коэффициент такой то, то для пролетающего мимо него выходит, что подавляюще-всепоглощающая часть замедления происходит от скорости, а не от гравитации?
Но действительно, это всё для решения Шварцильда, а что там с вращением это отдельная история, мда.

[svv]

aa_dav в сообщении #1005599 писал(а):

А разве не достаточно думать по схеме что я изначально написал - что если для неподвижной точки в гравиполе коэффициент такой то, то для пролетающего мимо него выходит, что подавляюще-всепоглощающая часть замедления происходит от скорости, а не от гравитации?

Если мы хотим только сделать такой вывод, то да, достаточно того, что коэффициент замедления времени для планеты очень большой.

Если же мы хотим что-то вычислить, надо сначала из известного коэффициента для планеты Миллера, вращающейся вокруг дыры, найти $\frac{r_g}r$. Для этого написано второе равенство, оно относится к объектам, вращающимся под действием только гравитации по круговой орбите. Потом подставить результат в $\sqrt{1-\frac{r_g}r}$ и найти чисто гравитационное замедление. Хочу подчеркнуть, что непосредственно этот корень Вам неизвестен — он относится к координатно-неподвижному наблюдателю, а отношение «семь лет к часу» — к планете.

При малых $\frac{r_g}r$, то есть далеко от дыры, дополнительная релятивистская составляющая замедления времени составляет примерно половину от чисто гравитационного. Этот эффект становится подавляющим только при $r$, близких к $\frac 3 2 r_g$.

aa_dav в сообщении #1005599 писал(а):

Но действительно, это всё для решения Шварцильда, а что там с вращением это отдельная история, мда.

Можно сделать расчет и для метрики Керра для вращающейся дыры. Взять круговую орбиту в экваториальной плоскости, перпендикулярной моменту импульса дыры. В принципе, ничего страшного. Но сначала надо хорошо понять необходимость двух выписанных равенств для ответа на Ваш вопрос в случае метрики Шварцшильда.

[Munin]

Я здесь недавно считал именно эту задачу:
post998151.html#p998151

[svv]

Вы там падаете по радиусу, а мы здесь кружимся по круговой орбите $r=\operatorname{const}$, $\theta=\frac{\pi}2$, $\varphi=\omega t$. И Вы лишили меня возможности списать у Вас и выдать результат за свой.

[Munin]

svv в сообщении #1005647 писал(а):

Вы там падаете по радиусу

Нет, не падаю. Впрочем, да, ответ надо немного усложнить. Но на популярном уровне (как спрашивал aa_dav) - вот он.

[aa_dav]

svv в сообщении #1005619 писал(а):

Если мы хотим только сделать такой вывод, то да, достаточно того, что коэффициент замедления времени для планеты очень большой.

Да, дело в том, что когда я увидел что девятки не влазят в калькулятор, то интерес считать точно в общем то здесь и пропал. :) Какая разница 0,9999999999999 или 0,9999999...

[aa_dav]

Munin в сообщении #1005640 писал(а):

Я здесь недавно считал именно эту задачу

Нет, всё таки не совсем. Моя задача она в том чтобы показать какой вклад в замедление времени у планеты Миллера оказывает гравитация, а какой - скорость.
Выходит что скорость обеспечивает подавляющую часть замедления времени.

[svv]

А в цифрах можете показать?

[aa_dav]

svv в сообщении #1005846 писал(а):

А в цифрах можете показать?

У меня получается, что если исходить из того что стабильные орбиты возможны от $3rg$ и выше, то максимальный гравитационный коэффициент будет 0,81.
А он исходя из заданных данных 0,0000163.

[svv]

aa_dav в сообщении #1005881 писал(а):

А он исходя из заданных данных 0,0000163.

Так. Щас доберёмся до корня несовсемвзаимопонимания.
$0,0000163$ — это $\frac{1}{7\cdot 365\cdot 24}$.
Почему Вы считаете, что это коэффициент чисто гравитационного замедления? Ведь он получен сравнением времени удаленного наблюдателя и времени на планете, движущейся не просто быстро, а с релятивистской скоростью!

[aa_dav]

svv в сообщении #1005889 писал(а):

Почему Вы считаете, что это коэффициент чисто гравитационного замедления?

Нет, я как раз так не считаю, может я неудачно выразился.
В принципе вы сами схему полностью и построили и нам в сущности даже не надо считать эту кучу формул выражая через друг друга величины.
Просто имеем то, что максимальный гравитационный коэффициент неподвижного зонда лежащего на стационарной орбите есть 0,83.
Но вот мимо зонда пролетает планета Миллера где мы знаем что коэффицент (общий) есть 0,0000163, а значит что вклад по замедлению от скорости есть 0,0000196, и гравитационный вклад тут капля в море.

-- 20.04.2015, 18:00 --

P.S.
Откуда же и понятно, что скорость планеты должна быть ну просто таки ультрарелятивистской.