Существование вектора с возрастающими координатами

[Nick28]

Верно ли, что

$$ \forall\, x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n \,\,\, \forall\, y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n \,\,\, \exists\, \alpha\in\mathbb{R} \,\,\, \exists\, \beta\in\mathbb{R} \,\, (|\alpha|+|\beta|>0): $$

$$ \alpha x_1+\beta y_1 \leq \alpha x_2+\beta y_2 \leq \ldots \leq \alpha x_n+\beta y_n \, ? $$

Т.е., существует ли ненулевой вектор $z\in\mathbb{R}^n$, являющийся линейной комбинацией двух заданных векторов $x\in\mathbb{R}^n$ и $y\in\mathbb{R}^n$, $z=\alpha x+\beta y$, такой, что координаты вектора $z$ будут возрастающими?

Если это утверждение ложно, то верно ли, что

$$ \forall\, x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n \,\,\, \forall\, y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n \,\,\, \exists\, \alpha\in\mathbb{R} \,\,\, \exists\, \beta\in\mathbb{R} \,\, (|\alpha|+|\beta|>0): $$

$$ \alpha x_1+\beta y_1 \leq \alpha x_2+\beta y_2 \leq \ldots \leq \alpha x_m+\beta y_m $$

для некоторого $m<n$ ?

Каковы те нетривиальные $m>2$, для которых предыдущее утверждение верно?

[VanD]

Странный вопрос, ведь координаты вектора - это коэффициенты его разложения по базису. Меняете базис и всё пропало. А вообще при фиксированном базисе вектора в стиле $x = (1, -1, 1, -1, \cdots), \ y = (-1, 1, -1, 1, \cdots)$ заставляют любую комбинацию $\alpha x + \beta y$ иметь координаты, отличающиеся только чередующимися знаками.

[ex-math]

В $\mathbb{R}^4$ есть контрпример $(0,-1,0,0)$ и $(0,1,2,1)$. В пространстве меньшей размерности утверждение верно.

[Dan B-Yallay]

VanD в сообщении #1005040 писал(а):

А вообще при фиксированном базисе вектора в стиле $x = (1, -1, 1, -1, \cdots), \ y = (-1, 1, -1, 1, \cdots)$ заставляют любую комбинацию $\alpha x + \beta y$ иметь координаты, отличающиеся только чередующимися знаками.

$\alpha = \beta = 1 \quad \to \quad 0 \leq 0 \leq 0 ...$

[ex-math]

Выяснить очень просто: на плоскости $(\alpha,\beta)$ требуемые неравенства задают $n-1$ полуплоскость. При $n<4$ они всегда имеют ненулевое пересечение.

VanD
Никто не требует инвариантности относительно смены базиса. А для Ваших знакочередующихся векторов достаточно взять $\alpha=\beta$.

[VanD]

Dan B-Yallay в сообщении #1005049 писал(а):

$\alpha = \beta = 1 \quad \to \quad 0 \leq 0 \leq 0 ...$

Nick28 в сообщении #1005015 писал(а):

Т.е., существует ли ненулевой вектор $z\in\mathbb{R}^n$ ...

[ex-math]

Там у него неточная формулировка. Я решал для условия $|\alpha|+|\beta|>0$.

-- 17.04.2015, 21:19 --

Для линейно независимых векторов это одно и то же, а с линейно зависимыми все тривиально.

[Dan B-Yallay]

VanD
Да, это я проворонил, потому что ненулевость из предыдущих требований не следует.

[ex-math]

Nick28 в сообщении #1005015 писал(а):

Верно ли, что

$$ \forall\, x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n \,\,\, \forall\, y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n \,\,\, \exists\, \alpha\in\mathbb{R} \,\,\, \exists\, \beta\in\mathbb{R} \,\, (|\alpha|+|\beta|>0): $$

$$ \alpha x_1+\beta y_1 \leq \alpha x_2+\beta y_2 \leq \ldots \leq \alpha x_n+\beta y_n \, ? $$

Т.е., существует ли ненулевой вектор $z\in\mathbb{R}^n$, являющийся линейной комбинацией двух заданных векторов $x\in\mathbb{R}^n$ и $y\in\mathbb{R}^n$, $z=\alpha x+\beta y$, такой, что координаты вектора $z$ будут возрастающими?

Еще раз. Мы видим здесь два утверждения. Первое верно при $n<4$. Второе только при $n<3$.
Второе утверждение малоинтересно, т.к. ломается на тривиальном контрпримере линейно зависимых векторов.
Дождемся ТС, узнаем, что же он имел в виду.

[Dan B-Yallay]

ex-math в сообщении #1005063 писал(а):

Дождемся ТС, узнаем, что же он имел в виду.

3аодно узнаем, почему он неубывающее называет возрастающим.

[ex-math]

Иногда говорят строго возрастающее вместо возрастающее и возрастающее вместо неубывающее. Сам так привык.
Строгие неравенства тоже испортили бы трехмерный случай.