Предкомпактность

[Danmir]

Доброго времени суток. Решаю задачу на проверку, является ли множество предкомпактным в МП $(X, \rho )$
$M= \{ x: x(t)=\arctg(nt),n\in N\} \quad X=C[0,1]$
По теореме Арцела-Асколли
1) Равномерная ограниченность: $\exists K>0 \forall x=x(t)\in M\quad \forall t\in [0,1]\quad \forall n\in N:\left| \arctg(nt) \right| <\frac { \pi }{ 2 } $
2) А вот с равностепенной непрерывностью не так все понятно
По теореме Лагранжа хотел оценить производную, но не удалось. $(\arctg(nt))' = \frac { n }{ { n }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+1 } $
Что можно предпринять теперь ?
Можно ли здесь выделить нужную подпоследовательность, чтобы доказать по теореме:
Множество $M\subset X$ предкомпактным тогда и только тогда, когда $\forall \{ { x }_{ n }\} \subset M\quad \exists { \{ x }_{ { n }_{ k } }\} \quad \exists { x }_{ 0 }\in X\quad { x }_{ { n }_{ k } }\underset { k\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } { x }_{ 0 }$

[demolishka]

Во-первых, здесь

Danmir в сообщении #1003926 писал(а):

$\exists K>0 \forall x=x(t)\in M\quad \forall t\in [0,1]\quad \forall n\in N:\left| \arctg(nt) \right| <\frac { \pi }{ 2 } $

один из кванторов всеобщности лишний (какой?).
Во-вторых, это

Danmir в сообщении #1003926 писал(а):

$(\arctg(nt))' = \frac { n }{ { n }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+1 } $

должно вас натолкнуть на какие-то мысли по поводу равностепенной непрерывности.

[mihailm]

В нуле производная чему равна?

[Danmir]

mihailm
$n$
demolishka
Доказывать от противного ?

[mihailm]

а $n$ это много?

[Danmir]

mihailm
Но нам же нужна константа для того, чтобы ограничить ? Не совсем понимаю о чем речь ?

[demolishka]

Ограничить что и для чего? Выпишите определение равностепенной непрерывности.

[Danmir]

demolishka

$\forall \varepsilon >0\quad \exists { \delta }_{ \varepsilon }>0 \forall f\in A\quad \forall { x }^{ ' },{ x }^{ '' }\in \left[ 0,1 \right] :\quad \left| { x }^{ ' }-{ x }^{ '' } \right| <\delta \Rightarrow \left| f({ x }^{ ' })-f({ x }^{ '' }) \right| <\varepsilon $

[demolishka]

Ну вот возьмите маленькую дельту. Что можно сказать о величине $|f(x')-f(x'')|$? Применительно к вашей задаче конечно.

[Danmir]

demolishka
Вот по теореме Лагранжа $\forall \left[ { t }_{ 1 };{ t }_{ 2 } \right] \in \left[ 0,1 \right] \left| x({ t }_{ 1 })-x({ t }_{ 2 }) \right| =\left| { x }^{ ' }(c) \right| \left| { t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 } \right| \le A\left| { t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 } \right| $
и нужно найти дельту

[demolishka]

Ну подставьте вместо $x(t)$ то, что в задаче дано и посмотрите при каких $t_1$ и $t_2$ эта разность большая.

[Danmir]

demolishka
$\arctg({ t }_{ 1 })-\arctg({ t }_{ 2 })$
При ${ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 }\rightarrow \infty $ разность будет $-\pi $

[demolishka]

По теореме Лагранжа получается

$$|\arctg(nt_1)-\arctg(nt_2)|=\frac{n}{n^2\xi^2 + 1}\cdot|t_1-t_2|, \\ \xi \in (t_1,t_2)$$

Считайте, что дельта уже выбрана. Где надо взять точки $t_1$ и $t_2$, чтобы модуль разности стал относительно большим?

[Danmir]

demolishka
На концах отрезка получается 0 и 1 и разность 1

[demolishka]

Имелся в виду модуль разности арктангенсов . Да и дельта очень маленькая.