Предкомпактность

[Danmir]

demolishka
Ну можно тоже эти же тэ взять $\left| \arctg(1)-\arctg(0) \right| =\frac { \pi }{ 4 } $

[Otta]

Danmir
Такое впечатление, что Вы с определениями на эпсилон-дельта языке никогда в жизни не работали.
Лучше уж по определению предкомпактность/отсутствие смотрите тогда.

[Danmir]

Otta
Если от противного $\exists \varepsilon >0: \forall \delta >0 \quad \exists f: \exists { t }_{ 1 },{ t }_{ 2 }:\left| { t }_{ 1 }-{ t }_{ 2 } \right| <\delta \Rightarrow \left| f({ t }_{ 1 })-f({ t }_{ 2 }) \right| \ge \varepsilon $

[Otta]

Ну ладно. И где примерно Вы будете выбирать эти $t_1,t_2$?

[Danmir]

Можно сделать так ?
Пусть ${ t }_{ 1 }=\frac { 1 }{ n } $ ${ t }_{ 2 }=0 $
$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\quad \Rightarrow \quad \forall \delta >0\quad \exists n>0:\quad \left| \frac { 1 }{ n } \right| <\delta \quad \Rightarrow \left| { t }_{ 1 }-{ t }_{ 2 } \right| <\delta $
$x({ t }_{ 1 })=\arctg(n\frac { 1 }{ n } )=\frac { \pi }{ 4 } $
$x({ t }_{ 2 })=\arctg(0)=0$
$\left| x({ t }_{ 1 })-x({ t }_{ 2 }) \right| =1$
Тоесть эпсилон можно положить равную единице

[demolishka]

С вычислениями беда, а так - правильно.

[svv]

В своем примере Danmir вписывается в заявленный $\varepsilon=1$, т.к. $|x_n(t_1)-x_n(t_2)|=\frac{\pi}{4}<\varepsilon$, а надо как раз не вписаться, поэтому кажется, что он всё-таки не чувствует интриги.

Т.е. начало правильное, только ничего не доказано.

[Danmir]

svv
Там я ошибся с эпсилон, верно ли теперь ?

Danmir в сообщении #1003990 писал(а):

Можно сделать так ?
Пусть ${ t }_{ 1 }=\frac { 1 }{ n } $ ${ t }_{ 2 }=0 $
$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\quad \Rightarrow \quad \forall \delta >0\quad \exists n>0:\quad \left| \frac { 1 }{ n } \right| <\delta \quad \Rightarrow \left| { t }_{ 1 }-{ t }_{ 2 } \right| <\delta $
$x({ t }_{ 1 })=\arctg(n\frac { 1 }{ n } )=\frac { \pi }{ 4 } $
$x({ t }_{ 2 })=\arctg(0)=0$
$\left| x({ t }_{ 1 })-x({ t }_{ 2 }) \right| =\frac { \pi }{ 4 }$
Тоесть эпсилон можно положить $\varepsilon =\frac { \pi }{ 4 }$

[svv]

Да. Или ещё меньше.
Например, $\varepsilon=\frac{\pi}{8}$.
Тогда каким бы малым ни было $\delta>0$,
мы можем взять такие $n>\frac 1 {\delta},\; t_1=0, \; t_2=\frac 1 n$, что
хотя $|t_2-t_1|=|\frac 1 n-0|<\delta$ (совсем близко),
но $|x_n(t_2)-x_n(t_1)|=\frac{\pi}4\geqslant \frac{\pi}8=\varepsilon$ (довольно далеко).